Fraction égyptienne

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Une fraction égyptienne, ou unitaire, est une fraction de numérateur égal à un et de dénominateur entier strictement positif.

Un problème classique est d'écrire une fraction comme somme de fractions égyptiennes avec des dénominateurs tous différents, que l'on nomme "développement en fractions égyptiennes" ou plus simplement "développement égyptien".

Tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d'une infinité de façons différentes.

En effet, il est trivial d'exprimer toute fraction par une somme de fractions égyptiennes en se permettant de répéter les termes comme dans l'exemple :

.

Mais si l'on exige que tous les dénominateurs soient distincts, à l'instar des Égyptiens de l'Antiquité, cette représentation est toujours possible grâce à l'identité :

que connaissait dès 1202 le grand mathématicien européen du Moyen Âge Leonardo Fibonacci.

Ainsi, en reprenant l'exemple ci-dessus : 2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30. En appliquant le même procédé à chacune des fractions unitaires, 2/5 possède une multitude de développements égyptiens.

On peut démontrer le même résultat en utilisant les séries harmoniques.

Ce type de sommes, utilisé pour exprimer les fractions par les anciens Égyptiens, a continué à faire l'objet d'études lors de la période médiévale. En notation mathématique moderne, les développements égyptiens ont été remplacées par les fractions ordinaires et la notation décimale. Néanmoins, ils continuent d'être un objet d'étude en théorie des nombres moderne et en mathématiques récréatives, aussi bien que dans les études historiques modernes des mathématiques anciennes.

Cet article résume ce qui est connu à propos des fractions égyptiennes à la fois anciennes et modernes. Pour les détails des sujets traités ici, voir les articles liés.

Les fractions dans l'Égypte antique[modifier | modifier le code]

Les balances mécaniques anciennes permettent de mesurer une masse sans étalon, en jouant sur la longueur du bras de levier La masse est donc une fraction unitaire de la longueur du bras de levier

Cette propriété a permis aux anciens Égyptiens d'exprimer simplement tous les nombres rationnels.

N'importe quelle fraction que nous écrivons avec un numérateur non unitaire était écrite par les anciens Égyptiens comme une somme de fractions unitaires sans que deux de ces dénominateurs soient les mêmes.

Le hiéroglyphe en forme de bouche ouverte qui signifie partie, était utilisé pour représenter le numérateur 1 :

D21

Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous. Ainsi 1/3 était écrit :

D21
Z1 Z1 Z1

Il y avait des symboles spéciaux pour les fractions les plus courantes comme 1/2 et pour deux fractions non unitaires 2/3 et 3/4 :

Aa13
 
D22
 
D23

Si le dénominateur devenait trop large, la « bouche » était placée juste au début du dénominateur :

D21
V1 V1 V1
V20 V20
V20 Z1

La « table de deux » du Papyrus Rhind[modifier | modifier le code]

Le papyrus Rhind

Le papyrus Rhind (vers environ -1650), qui est conservé au British Museum de Londres, est le plus important document nous informant des connaissances mathématiques des temps anciens. Il comporte quatre-vingt-quatre problèmes résolus d'arithmétique, de géométrie et d'arpentage. Mais, avant de prendre connaissance de ces problèmes, l'Égyptien devait avoir à sa disposition différentes tables lui permettant de décomposer directement les fractions non unitaires en fractions unitaires. Une de ces tables, la table dite « des fractions doubles » ou « de 2/n », se trouve en première position sur le papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est deux et dont le dénominateur n varie de trois à cent-un, n impairs et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires[1].

Quelques exemples de décomposition en fractions unitaires de la table de deux :

2/5 → 1/3 + 1/15
2/7 → 1/4 + 1/28
2/9 → 1/6 + 1/18
2/11 → 1/6 + 1/66
2/101 → 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606.

Ces différents résultats furent obtenus par les anciens Égyptiens en appliquant la technique de la division.

Exemple de 2/5 :

1 5
2/3 3 + 1/3
1/3 1 + 2/3
1/15 1/3

1/3 + 1/15  2

(1 + 2/3) + 1/3 = 2 par conséquent le résultat est 1/3 + 1/15.

Exemple du papyrus Rhind[modifier | modifier le code]

Le problème numéro vingt-quatre du papyrus est le suivant : Un nombre ajouté à son septième donne dix-neuf, quel est ce nombre ?

Sous forme symbolique moderne, la réponse est triviale : x + x/7 = 8x/7 = 19, soit x = 133/8.

Mais il y a 4 000 ans, le calcul fractionnaire et le symbolisme algébrique n'étaient pas vraiment au point. En fait, le problème n'est alors pas dans la résolution même de l'équation, mais dans la mise en équation et la difficulté d'aboutir, à défaut d'une démarche algébrique pratique, à la forme simple ax = b.

Pour cela les Égyptiens utilisaient la méthode dite de la fausse position. On appelle ainsi une méthode de résolution algébrique consistant à fournir une solution approchée (fausse) conduisant, par un algorithme approprié tirant parti de l'écart constaté, à la solution du problème considéré.

Dans notre exemple l'idée première est de se débarrasser du dénominateur gênant en choisissant sept comme solution approchée (fausse position) : le scribe obtient huit dans le calcul du nombre augmenté de son septième. Il utilise ensuite implicitement l'algorithme suivant (où x' = 7 et c = 8) :

Si ax = b et ax'= c alors ax/ax' = b/c soit x = x'(b/c)

C'est exactement ce qui est proposé dans le papyrus : on divise dix-neuf par huit, ce qui fournit 2 + 1/4 + 1/8 et multiplie le tout par 7 = 1 + 2 + 4, ce qui fournit (2 + 1/4 + 1/8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2), soit 16 + 1/2 + 1/8.

Mathématiques médiévales[modifier | modifier le code]

La notation sous forme de fractions égyptiennes a été utilisée pendant la période grecque et même au Moyen Âge (Struik 1967) en dépit des plaintes, dès l'Almageste de Ptolémée, à propos de la maladresse de cette notation comparée aux notations alternatives telles que la notation babylonienne en base soixante.

Le Liber abaci (1202) de Fibonacci contient plusieurs sections sur les mathématiques liées aux fractions égyptiennes. La plus connue de ces dernières est l'algorithme glouton pour les fractions égyptiennes (en) pour le calcul des fractions égyptiennes, par le choix répété de la fraction unitaire avec le plus petit dénominateur qui n'est pas plus grand que la fraction restante à développer : c’est-à-dire, dans une notation plus moderne, nous remplaçons une fraction x/y par le développement :

.

Il a été démontré par Sylvester en 1880[2]. Comme chacun de ces développements réduit le numérateur de la fraction restante à développer, cette méthode termine toujours avec un développement fini ; néanmoins, comparée aux développements égyptiens anciens ou aux méthodes plus modernes, cette méthode peut produire des développements qui sont longs, avec de grands dénominateurs. Par exemple, cette méthode donne :

tandis que d'autres méthodes conduisent au meilleur développement :

.

La suite de Sylvester 2, 3, 7, 43, 1807, … peut être vue comme engendrée par un développement glouton infini de ce type pour le nombre un, où à chaque étape, nous choisissons le dénominateur : à la place de

Construire une représentation en fractions égyptiennes d'un nombre rationnel donné r = a/b, avec r compris entre 0 et 1 :

  1. Trouver la plus grande fraction égyptienne juste inférieure à r. Le dénominateur peut être trouvé en divisant b par a, en écartant le reste, et en additionnant un. S'il n'y a pas de reste, nous réussissons quand même, car r est elle-même une fraction unitaire.
  2. Soustraire la fraction égyptienne trouvée de r, puis recommencer l'étape précédente en utilisant cette valeur plus petite que r.

Exemple : déterminer un développement égyptien de 19/20 :

  • 20/19 = 1 avec un certain reste, donc notre première fraction égyptienne est 1/2.
  • 19/20 – 1/2 = 9/20.
  • 20/9 = 2 avec un certain reste, donc notre deuxième fraction égyptienne est 1/3.
  • 9/20 – 1/3 = 7/60
  • 60/7 = 8 avec un certain reste, donc notre troisième fraction égyptienne est 1/9.
  • 7/60 – 1/9 = 1/180 qui est elle-même une fraction égyptienne.

Donc, notre résultat est :

.

Notez que ce développement égyptien n'est pas unique, et que l'algorithme donné plus haut ne produit pas la plus courte de ces représentations car on peut aussi écrire :

.

Quelquefois, l'algorithme glouton de Fibonacci est attribué à Sylvester.

Dans le Liber Abaci, Fibonacci a écrit aussi à propos de la forme ascendante d'une fraction continue,

qui peut être réécrite comme dévelopement égyptien :

.

Un développement de cette forme dans lequel les entiers ai sont croissants est appelé un développement en série de Engel. Chaque nombre rationnel possède un développement de Engel fini, tandis que les nombres irrationnels ont un développement de Engel infini.

Théorie des nombres moderne[modifier | modifier le code]

Les théoriciens des nombres modernes ont étudié beaucoup de problèmes différents reliés aux fractions égyptiennes[3], incluant les problèmes de borne pour la longueur ou de dénominateur maximum dans les représentations en fractions égyptiennes, la recherche de développements de certaines formes spéciales ou dans lesquels les dénominateurs sont tous d'un certain type spécial, l'arrêt de diverses méthodes pour les développements en fractions égyptiennes et ont montré que les développements existent pour un ensemble suffisamment dense quelconque de nombres suffisamment lisses.

  • La conjecture d'Erdős-Graham en théorie combinatoire des nombres établit que pour toute partition finie de l'ensemble des entiers supérieurs (ou égaux) à deux, l'une des parties peut être utilisée pour former développement égyptien du nombre un. C’est-à-dire, pour chaque r > 0, et chaque r-coloration des entiers supérieurs à deux, il existe un sous-ensemble monochromatique fini S de ces entiers tel que :
    .
    La conjecture a été démontrée en 2000 par Ernest S. Croot III (en).
  • Le problème de Znám (en) est intimement relié à l'existence des développements égyptiens de la forme :
    .
  • Le théorème de Golomb : toute fraction p/q est la somme d'au plus p fractions égyptiennes distinctes[4].
  • Les développements égyptiens sont normalement définis comme requérant tous les dénominateurs distincts, mais ceci peut être assoupli en permettant des répétitions. Néanmoins, cette forme assouplie des développements égyptiens ne permet pas une représentation d'un nombre quelconque utilisant peu de fractions, puisque tout développement avec des fractions répétées peut être converti en un développement égyptien de longueur égale ou plus petite par l'application du remplacement :
    si k est impair, ou simplement en remplaçant 1/k + 1/k par 2/k si k est pair. Ce résultat fut démontré en premier par (Takenouchi 1921).
  • Graham et Jewett (Wagon 1991 et Beeckmans 1993) ont démontré qu'il est possible, de manière similaire, de convertir les développements avec des dénominateurs répétés en développements égyptiens (plus longs), via le remplacement :
    .
    Cette méthode peut conduire à de longs développements avec de grands dénominateurs, tels que :
    .
    (Botts 1967) a utilisé originellement cette technique de remplacement pour montrer qu'un nombre rationnel quelconque possède des représentations en fractions égyptiennes avec des dénominateurs minimums arbitrairement grands.
  • Une fraction x/y quelconque possède une représentation en fractions égyptiennes dans laquelle le dénominateur maximum est borné par :
    (Tenenbaum et Yokota 1990) et une représentation avec au plus :
    termes (Vose 1985).
  • (Graham 1964) a caractérisé les nombres qui peuvent être représentés par des sommes de fractions égyptiennes dans lesquelles tous les dénominateurs sont des puissances n-ièmes. En particulier, un nombre rationnel q peut être représenté en somme de fractions égyptiennes avec des dénominateurs carrés si et seulement si q est situé dans un des deux intervalles demi-ouverts :
    .
  • (Martin 1999) a montré qu'un nombre rationnel quelconque possède des développements très denses, en utilisant une fraction constante de dénominateurs allant jusqu'à N pour un N suffisamment grand.

Conjecture d'Erdős-Straus et de Sierpiński[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : conjecture d'Erdős-Straus

En 1948, Paul Erdős et Ernst G. Straus ont conjecturé que pour tout entier , peut s'écrire comme somme de trois fractions égyptiennes,

.

De même, Wacław Sierpiński a conjecturé en 1956 que pour tout entier , il existe trois naturels , et tels que :

.

Remarque : contrairement aux développements égyptiens, dans les deux cas les nombres a, b et c ne sont pas nécessairement tous différents.

Aucune de ces deux conjectures n'est démontrée à ce jour, même s'il existe beaucoup de résultats assez forts concernant notamment la conjecture d'Erdős-Straus.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Egyptian fraction » (voir la liste des auteurs).
  1. Michel 2014, p. 91-106.
  2. http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/AL070.htm
  3. (en) P. Erdős et R. L. Graham, « Old and new problems and results in combinatorial number theory », Enseign. Math., vol. 28,‎ , p. 30-44 (lire en ligne).
  4. (en) Solomon W. Golomb, « An algebraic algorithm for the representation problems of the Ahmes Papyrus », Amer. Math. Monthly, vol. 69,‎ , p. 785-787.

Ouvrages cités[modifier | modifier le code]

  • (en) L. Beeckmans, « The splitting algorithm for Egyptian fractions », J. Number Theor., vol. 43,‎ , p. 173-185
  • (en) Truman Botts, « A chain reaction process in number theory », Mathematics Magazine,‎ , p. 55-65
  • (en) R. L. Graham, « On finite sums of reciprocals of distinct nth powers », Pacific J. Math., vol. 14, no 1,‎ , p. 85-92 (lire en ligne)
  • (en) Greg Martin, « Dense Egyptian fractions », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 351,‎ , p. 3641-3657
  • Marianne Michel, Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes, Bruxelles, Safran, , 604 p. (ISBN 978-2-87457040-7).
  • (en) Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics, Dover, (ISBN 0-486-60255-9), p. 20-25
  • (en) T. Takenouchi, « On an indeterminate equation », Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3e série, vol. 3,‎ , p. 78-92
  • (en) G. Tenenbaum et H. Yokota, « Length and denominators of Egyptian fractions », J. Number Theory, vol. 35,‎ , p. 150-156
  • (en) M. Vose, « Egyptian fractions », Bull. London Math. Soc., vol. 17,‎ , p. 21
  • (en) Stan Wagon, Mathematica in Action, W. H. Freeman, , p. 271-277

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Ron Knott, « Egyptian Fractions »,