Fonction cubique

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Graphique d'une fonction cubique avec 3 racines réelles (où la courbe croise l'axe horizontal — où y = 0). Le cas représenté ici a deux points critiques. Ici, la fonction est définie par f(x) = (x3 + 3x2 − 6x − 8)/4.

En algèbre, une fonction cubique est une fonction de la forme

où a est différent de zéro.

Le paramètre f(x) = 0 produit une équation cubique de la forme:

Les solutions de cette équation sont appelées racines du polynôme f(x).Si tous les coefficients a, b, c, et d de l'équation cubique sont des nombres réels, alors il y aura au moins une racine réelle (cela est vrai pour tous les polynômes de degré impair). Si les coefficients sont des nombres complexes, alors il y aura au moins une racine complexe (cela est vrai pour tous les polynômes non-constants). Toutes les racines de l'équation cubique se trouve algébriquement. (Ceci est également vrai d'une équation quadratique ou quartique (quatrième degré), mais aucune équation de degré supérieur, par le théorème d'Abel-Ruffini). Les racines peuvent également être trouvés trigonométriquement. Alternativement, des approximations numériques des racines peuvent être trouvées en utilisant des algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction, comme la méthode de Newton.

Les coefficients ne doivent pas nécessairement être des nombres complexes. Une grande partie de ce qui est couvert ci-dessous est valable pour les coefficients de tout corps avec comme caractéristique 0 ou supérieure à 3. Les solutions de l'équation cubique n'appartiennent pas nécessairement au même domaine que celui des coefficients. Par exemple, certaines équations cubiques à coefficients rationnels ont des racines complexes non-rationnels (voire non-réelle).

Histoire[modifier | modifier le code]

Les équations cubiques étaient connus des anciens Babyloniens, Grecs, Chinois, Indiens et Égyptiens[1],[2],[3]. Des inscriptions cunéiformes babyloniennes (XXe au XVIe siècle av. J.-C.) ont été trouvés avec des tables de calcul des cubes et des racines cubiques[4],[5]. Les Babyloniens auraient pu utiliser les tables pour résoudre des équations cubiques, mais aucune preuve existe pour confirmer qu'ils ont fait[6]. Le problème du doublement du cube implique l'équation cubique la plus simple et la plus ancienne étudiée, pour laquelle les anciens Égyptiens ne croyaient qu'une solution n'existait[7]. Au Ve siècle av. J.-C., Hippocrate a réduit ce problème à celui de trouver deux moyennes proportionnelles entre une ligne et un autre de deux fois sa longueur, mais ne pouvait pas résoudre ce problème à l'aide d'une construction à la règle et au compas[8], une tâche qui est maintenant connu comme impossible. Des méthodes de résolution d'équations cubiques apparaissent dans Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, un texte mathématique chinois écrit autour du IIe siècle av. J.-C. et commenté par Liu Hui au IIIe siècle[2]. Au IIIe siècle, mathématicien grec ancien Diophante trouve des solutions réelles ou rationnelles pour certaines équations cubiques bivariées (équations diophantiennes)[3],[9]. On suppose que Hippocrate, Ménechme et Archimède sont arrivés près de résoudre le problème de doublage le cube à l'aide d'intersection des sections coniques[8], si les historiens tels que Reviel Netz contestent le fait que les Grecs pensent à des équations cubiques ou seulement des problèmes qui pouvaient conduire à des équations cubiques. Quelques autres comme T. L. Heath, qui a traduit les œuvres d'Archimède, en désaccord, mettant en avant la preuve qu'Archimède résolvant les équations cubiques en utilisant intersection de deux coniques, mais également discuté des conditions où les racines sont égal à 0, 1 ou 2[10].

graphique en deux dimensions d'une équation cubique, le polynôme ƒ(x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2.

Au VIIe siècle, l'astronome et mathématicien Wang Xiaotong ,dans son traité mathématique intitulé Jigu Suanjing, a établi et résolu numériquement 25 équations cubiques de la forme x3 + px2 + qx = N, 23 de celles-ci avec p, q ≠ 0, et 2 avec q = 0[11].

Au XIe siècle, le poète-mathématicien persan Omar Khayyam (1048-1131), a fait des progrès significatifs dans la 'théorie des équations cubiques. Il a découvert qu'une équation cubique peut avoir plus d'une solution et a déclaré qu'elle ne peut pas être résolu en utilisant la construction à la règle et au compas. Il a également trouvé une solution géométrique (voir ci-dessous)[12],[13]. Plus tard, dans son Traité sur la démonstration des problèmes d'algèbre, il a écrit une classification complète des équations cubiques avec des solutions géométriques générales trouvées par le biais de l'intersection des sections coniques[14],[15].

Au XIIe siècle, le mathématicien indien Bhaskara II a essayé de résoudre des équations cubiques, sans succès. Cependant, il a donné un exemple d'une équation cubique : x3 + 12x = 6x2 + 35[16]. Au XIIe siècle, un autre mathématicien persan, Sharaf al-Dîn al-Tusi (1135 à 1213), écrit le Al-Mu'ādalāt (Traité sur les équations), qui portait sur huit types d'équations cubiques avec des solutions positives, et cinq types d'équations cubiques qui peuvent ne pas avoir de solutions positives. Il a utilisé ce qui sera connu plus tard comme la « méthode de Ruffini-Horner » pour approcher numériquement la racine d'une équation cubique. Il a également développé les concepts de fonction dérivée et les extremum des courbes afin de résoudre des équations cubiques, qui peuvent ne pas avoir des solutions positives[17]. Il comprit l'importance du discriminant de l'équation cubique pour trouver des solutions algébriques à certains types d'équations cubiques[18].

Leonardo de Pise, également connu sous le nom de Fibonacci (1170-1250), a été en mesure de suivre de près la solution positive à l'équation cubique x3 + 2x2 + 10x = 20, en utilisant les chiffres babyloniens. Il a donné le résultat 1,22,7,42,33,4,40 (équivalent à 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + 33/604 + 4/605 + 40/606)[19], qui diffère de la valeur correcte de seulement environ 3/1000000000000.

Au début du XVIe siècle, le mathématicien italien Scipione del Ferro (1465-1526) a trouvé une méthode pour résoudre une classe d'équations cubiques, à savoir celles de la forme x3 + mx = n. En fait, toutes les équations cubiques peuvent être réduits à cette forme si nous permettons que m et n peut être négatif, mais les nombres négatifs ne sont pas connus à ce moment-là. Del Ferro a gardé son secret de réussite jusqu'avant sa mort, quand il dit à son élève Antonio Fiore la méthode.

Niccolò Fontana Tartaglia

En 1530, Niccolò Tartaglia (1500-1557) a reçu deux problèmes d'équations cubiques de Zuanne da Coi et a annoncé qu'il pourrait les résoudre. Il fut aussitôt contesté par Fiore, ce qui les a conduits à un célèbre concours. Chaque participant a dû mettre en place une certaine somme d'argent et de proposer un certain nombre de problèmes pour son rival à résoudre. Celui qui a résolu plus de problèmes dans les 30 jours obtiendraient tout l'argent. Tartaglia a reçu des questions sous la forme x3 + mx = n, pour lequel il avait élaboré une méthode générale. Fiore a reçu des questions de la forme x3 + mx2 = n, qui se sont avérés être trop difficiles pour lui à résoudre, et Tartaglia a remporté le concours.

François Viète (1540-1603) a dérivé la solution trigonométrique pour des équations cubiques avec trois racines réelles, et René Descartes (1596-1650) a étendu le travail de Viète[20].

Points critiques et point d'inflexion d'une fonction cubique[modifier | modifier le code]

Les racines, les points stationnaires, point d'inflexion et la concavité d'un polynôme cubique x3-3x2-144x+432 (ligne noire) et ses dérivées première et seconde (rouge et bleu).

Les points critiques de la fonction sont les valeurs de x où la pente de la fonction est égale à zéro. Les points critiques d'une fonction cubique f défini par f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, se produire aux valeurs de x de telle sorte que la première dérivée de la fonction cubique soit égal à zéro :

Les solutions de cette équation sont les points critiques de l'équation cubique et sont données, en utilisant la formule quadratique, par

L'expression à l'intérieur de la racine carrée,

,

détermine quel type de points critiques la fonction a. Si Δ0 > 0, alors la fonction cubique a un maximum local et un minimum local. Si Δ0 = 0, alors le point d'inflexion cubique est le seul point critique. Si Δ0 < 0, alors il n'y a pas de points critiques. Dans les cas où Δ0 ≤ 0.

La valeur de Δ0 joue également un rôle important dans la détermination de la nature des racines de l'équation cubique, et dans le calcul de ces racines; voir ci-dessous.

Le point d'inflexion d'une fonction est l'endroit de la courbe où cette fonction change de concavité. Le point d'inflexion a lieu quand

une valeur qui est également important dans la résolution d'une l'équation cubique. La fonction cubique a une symétrie ponctuelle autour de son point d'inflexion.

Tout ce qui précède suppose que les coefficients, ainsi que la variable x sont réels.

Solution générale d'une équation cubique avec des coefficients réels[modifier | modifier le code]

Cette section porte sur de résolution de l'équation cubique en utilisant diverses méthodes. Pour plus de détails et de preuves, voir ci-dessous. L'équation cubique générale est de la forme :

avec a ≠ 0.

Solution algébrique[modifier | modifier le code]

La solution algébrique de l'équation cubique peut être dérivée d'un certain nombre de façons différentes. (Voir par exemple la méthode de Cardan et la méthode de Viète ci-dessous.)

Le discriminant[modifier | modifier le code]

Le nombre et les types de racines sont déterminées par le discriminant de l'équation cubique,

Il se trouve que:

  • Si Δ > 0, alors l'équation admet trois racines réelles distinctes.
  • Si Δ = 0, alors l'équation admet une racine multiple et toutes ses racines sont réelles.
  • Si Δ < 0, alors l'équation admet une racine réelle et deux racines non-réelles complexes conjuguées.

Formule générale[modifier | modifier le code]

La solution générale de l'équation cubique implique d'abord de les calculer :

(Si le discriminant Δ a déjà été calculé, alors l'égalité Δ12 − 4Δ03 = −27 a2Δ, peut être utilisé pour simplifier le calcul de C.) Il existe trois racines cubiques possibles impliquées par l'expression, dont au moins deux sont des nombres complexes non réels ; n'importe lequel d'eux peut être choisi lors de la définition C.

La formule générale pour l'une des racines, en fonction des coefficients, est la suivante:

Notez que, bien que cette égalité est valable pour tout C différent de zéro, elle n'est pas la forme la plus pratique pour les racines multiples (Δ = 0), qui est traité dans la section suivante. (Le cas où C = 0 ne se produit que lorsque Δ et Δ0 sont égaux à zéro 0 et est également traité dans la section suivante.)

Les deux autres racines de l'équation cubique peuvent être déterminées en utilisant la même égalité, en utilisant les deux autres choix pour la racine cubique dans l'équation pour C : désignant le premier choix C, les autres peuvent être écrits (−1/2 + 1/23i) C et (−1/21/23i) C.

L'égalité ci-dessus peut être exprimée de manière compacte, y compris les 3 racines comme suit:

ζ = −1/2 + 1/23i (qui est une racine cubique de l'unité).

Racines multiples, Δ = 0[modifier | modifier le code]

Si Δ et Δ0 sont égaux à 0, alors l'équation a une racine unique (qui est une racine triple):

Si Δ = 0 et Δ0 ≠ 0, alors l'équation admet à la fois une racine double,

et une racine unique,

Factorisation[modifier | modifier le code]

Si l'équation cubique ax3 + bx2 + cx + d = 0 avec des coefficients entiers a une racine rationnelle, il peut être trouvé à l'aide du test de racine rationnelle: Si la racine r = mn est complètement réduite, alors m est un facteur de d et n est un facteur de a, de sorte que toutes les combinaisons possibles de valeurs pour met n peuvent être vérifiés pour savoir si elles satisfont l'équation cubique.

Le test de racine rationnelle peut également être utilisé pour une équation cubique à coefficients rationnels: par multiplication par le plus petit dénominateur commun des coefficients, on obtient une équation à coefficients entiers qui a exactement les mêmes racines.

Le test de racine rationnelle est particulièrement utile quand il y a trois racines réelles, parce que la solution algébrique exprime inutilement les racines réelles en termes d'entités complexes (en); si le test donne une racine rationnelle, on peut factoriser et les racines restantes peuvent être trouvées en résolvant une équation quadratique. Le test de racine rationnelle est également utile en présence d'un réel et deux racines complexes car encore une fois, si elle donne une racine rationnelle, elle permet à tous les racines d'être écrit sans l'utilisation de racines cubiques : Si r est une racine réelle de l'équation cubique, alors nous pouvons factoriser xr en utilisant la longue division polynomiale pour obtenir

Par conséquent, si nous connaissons une racine, nous pouvons trouver les deux autres en utilisant la formule quadratique pour trouver les racines de ax2 + (b + ar)x + c + br + ar2, donnant ainsi

pour les deux autres racines.

Solutions géométriques[modifier | modifier le code]

Solution d'Omar Khayyám[modifier | modifier le code]

Solution géométrique d'Omar Khayyam d'une équation cubique, pour le cas m = 2, n = 16, donnant la racine 2. Le fait que la ligne verticale croise l'axe x au centre du cercle est spécifique à cet exemple particulier.

Comme on le voit sur ce graphique, pour résoudre l'équation du troisième degré x3 + m2x = nn > 0, Omar Khayyám a construit la parabole y = x2/m, le cercle qui présente un diamètre de segment [0, n/m2] sur l'axe x positif, et une ligne verticale passant par le point au-dessus de l'axe x où le cercle et la parabole se croisent. La solution est donnée par la longueur du segment de ligne horizontale de l'origine à l'intersection de la ligne verticale et l'axe x.

Une preuve simple et moderne de la méthode est la suivante : en multipliant l'équation par x et en regroupant les termes, nous obtenons

Le côté gauche est la valeur de y2 sur la parabole. L'équation du cercle étant y2 + x(xnm2) = 0, le côté droit est la valeur de y2 sur le cercle.

Solution avec la trisection de l'angle[modifier | modifier le code]

Une équation cubique avec des coefficients réels peut être résolu géométriquement en utilisant le compat et la règle, et la trisection de l'angle si et seulement si l'équation admet trois solutions réelles[21].:Thm. 1

Dérivation des racines[modifier | modifier le code]

Méthode de Cardan[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode de Cardan.

Les solutions peuvent être trouvées avec la méthode suivante grâce à Scipione del Ferro et Tartaglia, publié par Jérôme Cardan en 1545 dans son livre 'Ars Magna. Cette méthode est applicable au cube diminué, t3 + pt + q = 0. Nous introduisons deux variables u et v liées par la condition u + v = t et le substition dans le cube diminué, donnant alors

À ce stade Cardan a imposé une deuxième condition pour les variables u et v: 3uv + p = 0. Comme la première parenthèse disparaît dans l'égalité précédente, nous obtenons u3 + v3 = −q et u3v3 = − p3/27. La combinaison de ces deux équations conduit à une équation du second degré (puisqu'elles correspondent à la somme et au produit de u3 et v3). Ainsi u3 et v3 sont les deux racines de l'équation quadratique z2 + qzp3/27 = 0. Cardano a supposé que q2/4 + p3/27 ≥ 0[22]. La résolution de cette équation du second degré et en utilisant le fait que u et v peuvent être échangés, nous trouvons

et

Par conséquent, u + v est égal à:

Méthode de Lagrange[modifier | modifier le code]

Symétrie[modifier | modifier le code]

Le graphique d'une fonction cubique a une symétrie de 180° de rotation autour de sonpoint d'inflexion. Le point d'inflexion d'un polynôme cubique général,

se produit à un point (x0, f(x0)) tel que f ′′(x0) = 0. Carf ′′(x) = 6ax + 2b, le point d'inflection est (−b/3a, 2b3/27a2bc/3a + d ). La translation de la fonction de sorte à ce que le point d'inflexion soit à l'origine, on obtient la fonction fT défini par:

Comme tous les termes sont des puissances impaires de x, fT (−x) = −fT (x) démontrant que l'ensemble des fonctions cubiques sont symétrique rotationnellement autour de leurs points d'inflexion[23].

Applications[modifier | modifier le code]

Les équations cubiques apparaissent dans divers autres contextes.

Le théorème de Marden indique que les foyers de l'inellipse de Steiner d'un triangle peut être trouvé en utilisant la fonction cubique dont les racines sont les coordonnées dans le plan complexe de trois sommets du triangle. Les racines de la première dérivée de ce cube sont les coordonnées complexes de ces foyers.

La surface d'un heptagone régulier peut être exprimé en termes de racines d'une équation cubique. En outre, le rapport de l'inradius au cercle circonscrit du triangle heptagonal, est l'une des solutions d'une équation cubique.

Compte tenu du cosinus (ou toute autre fonction trigonométrique) d'un angle quelconque, le cosinus d'un tiers de cet angle est l'une des racines d'une équation cubique.

Les valeurs propres d'une matrice 3 × 3 sont les racines d'un polynôme cubique, qui est le polynôme caractéristique de la matrice.

En chimie analytique, l'équation de Charlot, qui peut être utilisé pour trouver le pH des solutions tampons, peuvent être résolus en utilisant une équation cubique.

En génie chimique et thermodynamique, les équations d'état cubiques sont utilisées pour modéliser le comportement des substances de PVT (pression, volume, température).

Les équations cinématiques impliquant l'évolution des taux d'accélération sont cubiques.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Høyrup, Jens (1992), "The Babylonian Cellar Text BM 85200 + VAT 6599 Retranslation and Analysis", Amphora: Festschrift for Hans Wussing on the Occasion of his 65th Birthday, Birkhäuser, pp. 315–358, doi:10.1007/978-3-0348-8599-7_16, (ISBN 978-3-0348-8599-7)
  2. a et b Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999).
  3. a et b Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 (ISBN 0-387-12159-5)
  4. Cooke, Roger (8 November 2012).
  5. Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998).
  6. Cooke, Roger (2008).
  7. Guilbeau (1930, p. 8) states that "the Egyptians considered the solution impossible, but the Greeks came nearer to a solution."
  8. a et b Guilbeau (1930, pp. 8–9)
  9. Heath, Thomas L. (April 30, 2009).
  10. Archimedes (October 8, 2007).
  11. Mikami, Yoshio (1974) [1913], "Chapter 8 Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations", The Development of Mathematics in China and Japan (2nd ed.
  12. A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337
  13. In O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Omar Khayyam", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews . one may read This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation x3 + 200x = 20x2 + 2000 and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle.
  14. J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."
  15. Guilbeau (1930, p. 9) states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."
  16. Datta, Bibhutibhushan; Singh, Avadhesh Narayan (2004), "Equation of Higher Degree", History of Hindu Mathematics: A Source Book, 2, Delhi, India: Bharattya Kala Prakashan, p. 76, (ISBN 81-86050-86-8)
  17. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  18. Berggren, J. L. (1990), "Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt", Journal of the American Oriental Society, 110 (2): 304–309, doi:10.2307/604533, JSTOR 604533
  19. R. N. Knott and the Plus Team (November 4, 2013), "The life and numbers of Fibonacci", Plus Magazine CS1 maint: Uses authors parameter (link)
  20. Nickalls, R. W. D. (July 2006), "Viète, Descartes and the cubic equation" (PDF), Mathematical Gazette, 90: 203–208
  21. Gleason, Andrew Mattei (March 1988).
  22. Confalonieri, Sara (2015), "The casus irreducibilis in Cardano's Ars Magna and De Regula Aliza", Archive for History of Exact Sciences, 69 (3), doi:10.1007/s00407-015-0149-9
  23. de Villiers, Michael (2004), "All cubic polynomials are point symmetric" (PDF), Learning & Teaching Mathematics, 1: 12–15, retrieved 14 December 2015

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cubic function » (voir la liste des auteurs).
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  • Dence, T. (November 1997), "Cubics, chaos and Newton's method", Mathematical Gazette, Mathematical Association, 81: 403–408, doi:10.2307/3619617, (ISSN 0025-5572)
  • Dunnett, R. (November 1994), "Newton–Raphson and the cubic", Mathematical Gazette, Mathematical Association, 78: 347–348, doi:10.2307/3620218, (ISSN 0025-5572)
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Liens externes[modifier | modifier le code]