Préfaisceau (théorie des catégories)
Pour la notion classique de géométrie algébrique, voir préfaisceau.
En théorie des catégories — une branche des mathématiques — la notion de préfaisceau généralise celle du même nom en géométrie algébrique. Les préfaisceaux y sont des objets particulièrement courants et donnent lieu à la notion de topos sur un site.
Définition
[modifier | modifier le code]Soient et des catégories, un préfaisceau de à valeurs dans est un foncteur :
de la catégorie opposée à dans . De manière strictement équivalente, c'est un foncteur contravariant de dans [1].
Un cas très courant est celui où est la catégorie Set des ensembles, qui englobe en particulier toutes les catégories concrètes : catégorie des anneaux, catégorie des groupes abéliens, catégorie des modules sur un anneau… qui est le cadre dans lequel les préfaisceaux de la géométrie algébrique sont considérés.
Lorsque est une catégorie abélienne, on parle de préfaisceau abélien.
Si V est une catégorie monoïdale, on peut définir une notion de préfaisceau V-enrichi, comme foncteur V-enrichi contravariant d'une catégorie enrichie dans une autre.
Un petit préfaisceau est un préfaisceau qui est l'extension de Kan d'un foncteur dont le domaine est une petite catégorie. Si C est une petite catégorie, alors tous les préfaisceaux sur C sont petits.
Catégorie des préfaisceaux
[modifier | modifier le code]La catégorie des préfaisceaux est la catégorie de foncteurs , parfois notée ou , c'est-à-dire la catégorie dont :
![{\displaystyle [C^{\mathrm {op} },D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f8065f4cf8f3494a22f04ccbfcb25067e3f356)
- les objets sont les foncteurs ;
- les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs.
Lorsque D = Set, on note généralement ou la catégorie des préfaisceaux sur C, sans mention explicite de D.
La catégorie des préfaisceaux d'une petite catégorie dans Set est complète et cocomplète, et admet des limites et colimites point-à-point.
Exemples
[modifier | modifier le code]- Toute catégorie C est plongée de manière pleine et fidèle dans la catégorie Ĉ des préfaisceaux à valeurs dans Set, par le plongement de Yoneda . Les préfaisceaux de cette forme, et les préfaisceaux qui sont isomorphes à de tels préfaisceaux, sont dits « représentables ».
- Tout préfaisceau à valeurs dans Set est la colimite d'un préfaisceau représentable. On peut écrire cela en termes de cofin :
- Un ensemble simplicial est un préfaisceau sur la catégorie simpliciale.
Articles connexes
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- Georges Poitou, Paul Jaffard, Introduction aux catégorie et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, , p. 105
- Alexander Grothendieck et Jean-Louis Verdier, « Exposé I : Préfaisceaux », dans SGA 4 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, 1972
- (en) Brian Day et Stephen Lack, « Limits of small functors », J. Pure Appl. Algebr., vol. 210, no 3, , p. 651-663 (lire en ligne)
