Préfaisceau

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En mathématiques, un préfaisceau sur un espace topologique X est (dans le langage des catégories) un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de X dans une autre catégorie[1] ; cette définition, qui peut paraître ésotérique, va s'éclairer grâce aux exemples ci-dessous. On peut donc avoir des préfaisceaux d'ensembles, de groupes, d'anneaux ou de tout autre type de structures mathématiques. Les faisceaux sont des préfaisceaux qui peuvent être définis de manière locale. En géométrie, aussi bien d'ailleurs en géométrie algébrique qu'en géométrie différentielle, la notion de faisceau est une généralisation de celle d'ensemble des sections d'un fibré vectoriel. Dans ce cadre, X est une variété algébrique ou une variété différentielle.

Les faisceaux ont été introduits par Jean Leray en topologie algébrique lorsqu'il était en captivité durant la seconde guerre mondiale[2]. Sous l'impulsion, notamment, d'Henri Cartan[3], de Jean-Pierre Serre[4] et d'Alexandre Grothendieck[5],[6] (à qui on doit le terme préfaisceau), les faisceaux ont pris par la suite une importance considérable dans de nombreux domaines des mathématiques où l'on cherche à passer, pour un problème donné, d'une solution locale à une solution globale. Les obstructions à un tel passage s'étudient grâce à la cohomologie des faisceaux.

Préfaisceaux[modifier | modifier le code]

Définition d'un préfaisceau —  Soit X un espace topologique et une catégorie. Un préfaisceau d'objets sur est la donnée de :

  • Pour tout ouvert U de X, un objet appelé objet des sections de sur U (ou au-dessus de U).
  • Pour tout ouvert V inclus dans U, un morphisme , appelé morphisme de restriction de U sur V ;

donnés tels que, pour toutes inclusions d'ouverts , on ait :

est appelé objet des sections globales.

De façon équivalente, on peut définir un préfaisceau comme un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de X (avec les inclusions comme morphismes) dans .

Les préfaisceaux les plus courants sont à valeurs dans des catégories concrètes (catégories des ensembles, groupes, anneaux, espaces vectoriels, algèbres, modules, espaces topologiques, groupes topologiques, etc.). Dans ce cas, pour tous ouverts , on note :

.

et un élément s'appelle une section de au-dessus de U. On écrit au lieu de .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'exemple fondamental de préfaisceau est celui où les morphismes de restriction sont les restrictions usuelles de fonctions. Notamment sur une variété différentielle (resp. une variété analytique) X, pour tout ouvert UX, l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de U vers les complexes (resp. l'ensemble des fonctions analytiques à valeurs complexes) est un anneau. Ces anneaux forment un préfaisceau d'anneaux sur X en considérant les restrictions usuelles des fonctions.
  • On peut de même considérer l'ensemble des distributions sur la variété différentielle X (resp. l'ensemble des hyperfonctions sur la variété analytique réelle X) si cette variété est de dimension finie et paracompacte (par exemple s'il s'agit d'un ouvert non vide de ); cet ensemble est un groupe abélien. On obtient le préfaisceau des distributions (resp. des hyperfonctions) sur X en considérant les restrictions de ces distributions (resp. de ces hyperfonctions) à des ouverts U de X.
  • Dans le plan complexe, une équation différentielle ordinaire, linéaire et à coefficients holomorphes, étant donnée, les espaces de solutions sur des ouverts évitant les points singuliers de l'équation forment un préfaisceau d'espaces vectoriels de dimension égale à l'ordre de l'équation.

Les exemples ci-dessus de préfaisceaux sont des faisceaux (voir infra).

Morphismes de préfaisceaux et de faisceaux[modifier | modifier le code]

Les préfaisceaux sur un ensemble X peuvent être considérés comme des objets d'une catégorie, dont les flèches sont définies comme suit.

Définition d'un morphisme de préfaisceaux et d'un morphisme de faisceaux — Étant donné deux préfaisceaux et sur un même espace topologique X, un morphisme de préfaisceaux est la donnée d'une famille de morphismes pour tout ouvert U, telle que, pour toute section s de sur U on ait :

.

Un morphisme de faisceaux (voir infra) est un morphisme de préfaisceaux entre deux faisceaux.

Fibres et germes[modifier | modifier le code]

Soit un préfaisceau sur X à valeurs dans une catégorie qui admet des limites inductives. La fibre (EGA, 0.3.1.6) (terminologie anglaise : « stalk », tige) de en un point de X est par définition l'objet de limite inductive

la limite étant prise sur tous les ouverts contenant , la relation d'ordre sur ces ouverts étant l'inclusion , et les morphismes de transition étant les morphismes de restriction .

Lorsque est une catégorie concrète, l'image canonique d'une section s dans est le germe de s au point x, noté .

Remarque. Certains auteurs appellent germe de en un point ce qui est appelé ci-dessus la fibre de en ce point.

Faisceaux[modifier | modifier le code]

Définition d'un faisceau[modifier | modifier le code]

Reprenons l'exemple des fonctions sur une variété différentielle X. La propriété de ces fonctions d'être indéfiniment différentiables est locale. Il est donc possible de « recoller » des fonctions coïncidant sur les intersections de leur domaine de définition (y compris lorsque cette partie est vide) en une fonction globale. Il en irait de même pour des fonctions continues ou plus généralement de classe . Il en va de même, bien que ce soit moins évident, pour des distributions sur une variété différentielle paracompacte de dimension finie, ou pour des fonctions analytiques ou des hyperfonctions sur une variété analytique réelle paracompacte de dimension finie. C'est cette propriété qu'on souhaite ici généraliser à partir de la notion de préfaisceau.

Faisceau d'ensembles[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Condition pour qu'un préfaisceau d'ensembles soit un faisceau —  Un préfaisceau d'ensembles sur X est appelé faisceau lorsque pour tout ouvert V de X, réunion d'une famille d'ouverts , et pour toute famille de sections de sur les ouverts , vérifiant :

il existe une unique section s de sur V telle que : .

Remarque[modifier | modifier le code]

Comme la famille vide constitue un recouvrement de l'ouvert vide, la condition ci-dessus entraîne que est un singleton (sauf dans le cas trivial où les sont tous vides).

Autres cas[modifier | modifier le code]

On définit de même, sur un espace topologique X, un faisceau de groupes (resp. de groupes abéliens, d'anneaux, etc.) comme étant un préfaisceau de base X à valeurs dans la catégorie des groupes (resp. des groupes abéliens, des anneaux, etc.) qui vérifie la condition ci-dessus.

Faisceau à valeurs dans une catégorie[modifier | modifier le code]

Définition générale[modifier | modifier le code]

Examinons maintenant le cas d'un faisceau sur X à valeurs, de manière générale, dans une catégorie (EGA, 0.3.1) :

Définition générale d'un faisceau — 

Un préfaisceau sur X à valeurs dans une catégorie est appelé faisceau si la condition suivante est vérifiée :

Pour tout objet T de , est un faisceau d'ensembles.

Voyons quelques exemples fondamentaux.

Faisceau de Modules[modifier | modifier le code]

Soit un faisceau d'anneaux sur un espace topologique X. On appelle -Module à gauche un faisceau d'ensembles de base X muni de la structure suivante : pour tout ouvert U, on se donne sur une structure de module à gauche sur l'anneau , de telle sorte que l'application de restriction () soit un homomorphisme de modules compatible avec l'homomorphisme d'anneaux . Pour tout , par passage à la limite inductive sur les ouverts décroissants , la fibre est un -module à gauche, et la donnée de ces fibres pour tout , avec la structure de -module à gauche qui vient d'être précisée, équivaut à celle du -Module à gauche .

Faisceau de groupes topologiques[modifier | modifier le code]

Soit la catégorie des groupes topologiques (avec pour morphismes les homomorphismes continus). Un faisceau sur X à valeurs dans est un faisceau de groupes tel que, pour tout ouvert U et tout recouvrement de U par des ouverts , la topologie du groupe soit la moins fine rendant continues les restrictions . Un morphisme de faisceaux de groupes topologiques est un morphisme de faisceaux de groupes tel que pour tout ouvert U, est continu (EGA, 0.3.1.4).

On définirait de même un faisceau d'anneaux topologiques ou un faisceau de Modules topologiques sur un faisceau d'anneaux topologiques.

Généralisation. Topos[modifier | modifier le code]

Dans la définition ci-dessus, le faisceau est un foncteur d'un type particulier de la catégorie des ouverts d'un espace topologique dans une catégorie . On peut envisager un cas plus général : soit une « petite catégorie » (i.e. une catégorie dont la classe des objets est un ensemble) admettant des produits fibrés, et une catégorie. Un préfaisceau sur à valeurs dans est, de manière générale, un foncteur contravariant de vers . On peut munir d'une structure appelée « topologie de Grothendieck »[7]. Cela consiste à définir pour tout objet U de des « familles couvrantes » de U, à savoir des familles de morphismes qui ont des propriétés analogues au recouvrement d'un ouvert U d'un espace topologique X par une famille d'ouverts , les morphismes, dans ce cas, étant les inclusions. La catégorie , munie d'une topologie de Grothendieck, s'appelle un site. Un faisceau sur le site à valeurs dans se définit à partir de la notion de préfaiceau en raisonnant, mutatis mutandis, comme si était un espace topologique habituel[8], une intersection de parties ouvertes étant remplacée par le produit fibré. On appelle topos toute catégorie équivalente à la catégorie des faisceaux d'ensembles sur un site. La notion de topos généralise celle d'espace topologique. Il existe toutefois nombre d'exemples qui n'ont pas de rapport avec la topologie : si G est un groupe, la catégorie des ensembles sur lesquels G opère est un topos; le « topos ponctuel », i.e. la catégorie des faisceaux sur l’espace réduit à un point, n’est autre que la catégorie des ensembles[9].

Soit X un objet de . Le foncteur représentable est, d'après ce qui précède, un préfaisceau, dit « représenté par X ». Le foncteur covariant canonique , de la catégorie dans la catégorie des faisceaux d'ensembles sur , est pleinement fidèle[10], et permet donc d'identifier X avec le préfaisceau , ainsi que la catégorie avec la catégorie des préfaisceaux sur . La « topologie canonique » sur se définit comme étant la topologie (de Grothendieck) la plus fine (i.e. celle qui a le plus de familles couvrantes) pour laquelle les foncteurs représentables sont des faisceaux; en choisissant sur une topologie (de Grothendieck) moins fine que la topologie canonique, on peut donc identifier le site avec son topos[9].

Faisceau des sections d'un espace étalé[modifier | modifier le code]

Soit X un espace topologique. On appelle espace étalé de base[11] X un couple (E, p) où E est un espace topologique et p est un homéomorphisme local de E dans X (i. e. tout point de X appartient à un ouvert que p applique homéomorphiquement sur un ouvert). Pour tout sous-ensemble S de X, on appelle section de (E, p) au-dessus de S une application continue telle que pour tout . Soit, pour tout ouvert U, l'ensemble des sections de (E, p) au-dessus de U. Alors (muni des morphismes de restriction aux ouverts des applications ) est un faisceau d'ensembles de base X, appelé faisceau des sections de l'espace étalé (E, p). On montre le résultat suivant[1] :

Théorème —  Tout faisceau d'ensembles de base X est isomorphe au faisceau des sections d'un espace étalé, unique à un isomorphisme près.

On peut identifier le faisceau d'ensembles et l'espace étalé (E, p), ce qui explique pourquoi de nombreux auteurs définissent un faisceau comme étant un espace topologique vérifiant les conditions idoines (c'est le point de vue dû à Michel Lazard (de)[3] ; celui présenté ci-dessus a été développé ultérieurement par Grothendieck[5],[6]).

Faisceau associé à un préfaisceau[modifier | modifier le code]

Soit un préfaisceau. On appelle faisceau associé au préfaisceau un faisceau muni d'un morphisme de préfaisceaux possédant la propriété universelle suivante : pour tout morphisme dans un faisceau, il existe un unique morphisme tel que . Le faisceau associé, s'il existe, est unique. Dans le cas des préfaisceaux à valeurs dans une catégorie où la limite inductive existe (par exemple les catégories des ensembles, des groupes, des anneaux, des algèbres sur un anneau, des modules sur un anneau etc.), le faisceau associé existe. Le morphisme induit un isomorphisme des fibres .

Le faisceau se construit explicitement de la manière suivante dans le cas où le préfaisceau , défini sur l'espace topologique X, est à valeurs dans une catégorie concrète où la limite inductive existe : pour tout ouvert U de X, soit l'ensemble des fonctions s' de U dans la réunion disjointe tel que pour tout et il existe un voisinage ouvert V de x, , et tels que pour tout . Alors est le faisceau associé à . Pour des raisons évidentes, il est également appelé le faisceau des sections de . Si est un faisceau, le morphisme est un isomorphisme.

Faisceau induit[modifier | modifier le code]

Section au-dessus d'un ensemble quelconque[modifier | modifier le code]

Soit X un espace topologique métrisable, S une partie de X, et un faisceau de base X. L'ensemble des sections de au-dessus de S se définit par

i.e. une section de au-dessus de S est un germe de section définie dans un voisinage ouvert de S.

Faisceau induit sur un ensemble quelconque[modifier | modifier le code]

On définit comme suit le faisceau induit sur S, noté : pour tout sous-ensemble V de S, relativement ouvert par rapport à S, l'ensemble de ses sections au-dessus de V coïncide avec .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Soit A un ensemble non vide, X un espace topologique, et le préfaisceau sur X défini par pour tout ouvert U non vide de X et , les morphismes de restriction étant tous égaux à l'identité . Pour tout , et ce préfaisceau est donc appelé le préfaisceau constant de fibre A sur X. On a , et une section est un point de A en tant que rattaché à l'ouvert U, autrement dit c'est une application constante de U dans A, ou encore une application de la forme qui, en tant qu'application , est constante. Notons que si et sont deux ouverts disjoints, et si et sont deux sections définies respectivement sur et , il n'existe pas en général de fonction constante définie sur qui coïncide avec sur et avec sur , sauf si A est un singleton ; en écartant ce cas, le préfaisceau considéré n'est donc pas un faisceau dès qu'il existe dans X deux ouverts disjoints, c'est-à-dire lorsque X n'est pas un espace topologique irréductible. L'espace étalé est lorsque A est muni de la topologie discrète. Cet espace s'identifie au faisceau associé au préfaisceau . Pour tout ouvert U de X, est l'ensemble des applications continues , autrement dit l'ensemble des applications localement constantes de U dans A (constantes lorsque U est connexe). Ce faisceau est appelé faisceau simple de base X et de fibre A (certains auteurs l'appellent faisceau constant de base X et de fibre A, terminologie qui peut être trompeuse puisque ses sections ne sont pas en général des fonctions constantes ; par ailleurs on définit le faisceau localement constant, mais il a une autre signification).
  • De la même manière, on peut définir le préfaisceau des fonctions réelles bornées sur un espace topologique X, mais ce préfaisceau n'est pas, en général, un faisceau, car la bornitude n'est pas une propriété locale. Une section est une fonction bornée sur U, et le faisceau des sections de est donc le faisceau des fonctions localement bornées sur X. Celui-ci coïncide avec si, et seulement si de tout recouvrement de X par une famille d'ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini, c'est-à-dire si X est un espace quasi-compact.
  • Les fonctions dérivables forment un faisceau, de même que les fonctions ou holomorphes, que les distributions, les hyperfonctions, etc. C'est dû au fait que, cette fois, la définition de ces objets est locale et que par « recollement » on peut passer du local au global.
  • Soit p un point fixé d'un espace topologique séparé X et E un ensemble. On peut définir un préfaisceau qui à un ouvert U associe E si U contient p et un singleton sinon. L'application de restriction de U à V est l'identité ou l'unique application de E dans le singleton suivant l'appartenance de p à U et V. On vérifie que c'est un faisceau, dit « gratte-ciel ». La fibre en de ce faisceau est le singleton si x est différent de p et E si x=p.
  • Dans une catégorie , muni d'une topologie de Grothendieck moins fine que la topologie canonique, soit un objet de cette catégorie: alors est un faisceau sur le site , comme on l'a dit plus haut.

Image directe et image inverse[modifier | modifier le code]

Soit une application continue entre deux espaces topologiques. Soit un préfaisceau sur . Son image directe par est le préfaisceau qui à tout ouvert de associe , les applications de restrictions sont évidentes. Si est un faisceau, il en est de même pour .

La construction de l'image inverse est plus délicate. Soit un préfaisceau sur , à valeurs dans une catégorie où la limite inductive existe. À tout ouvert de , on associe la limite inductive des lorsque W parcours l'ensemble des ouverts de Y contenant . Lorsque est un faisceau, ce procédé ne donne pas un faisceau en général et est alors par définition le faisceau associé à ce préfaisceau.

Les constructions d'image directe et d'image inverse sont adjointes dans le sens suivant: Soient , des faisceaux sur , respectivement. Alors on a une bijection canonique entre et .

Morphismes injectifs et morphismes surjectifs[modifier | modifier le code]

Un morphisme de faisceaux sur est injectif si est injectif pour tout ouvert de . Il est surjectif si les morphismes de fibres sont surjectifs. Les morphismes injectifs sont exactement les monomorphismes dans la catégorie des faisceaux sur , et les morphismes surjectifs sont exactement les épimorphismes dans cette catégorie.

Noyau, image, quotient[modifier | modifier le code]

Soit un morphisme de faisceaux de groupes abéliens (resp. de -Modules à gauche, où est un faisceau d'anneaux de base X) sur un espace topologique .

  • Le noyau de est le faisceau défini par .
  • L'image de est le faisceau associé au préfaisceau .
  • Le conoyau de est le faisceau associé au préfaisceau

La catégorie des faisceaux de groupes abéliens (resp. des -Modules à gauche) sur X est une catégorie abélienne, et on a la suite exacte

.
  • En particulier, si est l'inclusion d'un sous-faisceau , alors son conoyau est le faisceau quotient de par . On note ce quotient par . En général, est différent de car le « foncteur section » n'est pas exact (il est exact à gauche mais non à droite en général). En revanche, on a pour les fibres l'égalité car le « foncteur fibre »

est exact, d'où l'exactitude de la suite

.

Faisceau des germes d'homomorphismes[modifier | modifier le code]

Soit un faisceau d'anneaux sur un espace topologiques X et , deux -Modules à gauche sur X. Le préfaisceau

est un faisceau de groupes abéliens noté , et appelé faisceau des germes d'homomorphismes de dans . Pour tout on a

Soit . Le germe est représenté par, disons, , où U est un voisinage ouvert de x. Puisque , f induit un morphisme de fibres . Par conséquent, il existe une application canonique

qui n'est ni injective ni surjective en général (elle est bijective si est un « faisceau cohérent »[4]).

Produit tensoriel de faisceaux[modifier | modifier le code]

Soit un faisceau d'anneaux sur un espace topologiques X, un -Module à droite et un -Module à gauche. On appelle produit tensoriel de et le faisceau de groupes abéliens noté engendré par le préfaisceau . La fibre de ce faisceau au point est le groupe abélien

Typologie des faisceaux[modifier | modifier le code]

Nous présentons ci-dessous trois types de faisceaux : les faisceaux flasques et les faisceaux mous, introduits par Godement[1] et la notion (introduite antérieurement par Henri Cartan[12]) de faisceau fin.

Faisceaux flasques[modifier | modifier le code]

Définition et propriétés générales[modifier | modifier le code]

  • Soit un faisceau sur un espace topologique X, à valeurs dans une catégorie concrète. Ce faisceau est flasque si pour tout ouvert U de X, le morphisme de restriction est surjectif.
  • Le fait pour un faisceau d'être flasque est une propriété locale. Par conséquent, est flasque si, et seulement si pour tous ouverts , l'application est surjective.
  • Pour tout ouvert U, le « foncteur section » est exact sur la catégorie des faisceaux flasques de groupes abéliens (ou de -Modules à gauche sur un faisceau d'anneaux ).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Les fonctions réelles quelconques sur un espace topologique forment un faisceau flasque.
  • Comme on le voit facilement, tout faisceau simple sur un espace topologique irréductible est flasque (« Théorème de Grothendieck »[1]).
  • Il en va de même du faisceau des fonctions réelles bornées sur un espace topologique quasi-compact.
  • Soit X une variété analytique réelle paracompacte de dimension n. Le faisceau des germes d'hyperfonctions sur X est flasque[13].

Faisceaux mous[modifier | modifier le code]

Définition et propriétés générales[modifier | modifier le code]

  • Soit X un espace topologique paracompact et un faisceau sur X, à valeurs dans une catégorie concrète. Ce faisceau est mou si toute section au-dessus d'un fermé se prolonge à X tout entier.
  • Pour un faisceau, le fait d'être mou est une propriété locale: si tout point de X possède un voisinage ouvert U tel que toute section de au-dessus d'un sous-ensemble fermé de X, contenu dans U, se prolonge à U, alors est un faisceau mou.
  • Soit X un espace topologique métrisable (donc paracompact) ; pour tout sous-ensemble localement fermé S de X (i.e. tout sous-ensemble S de X possédant un voisinage ouvert U dans lequel il est relativement fermé), le « foncteur section » est exact sur la catégorie des faisceaux mous de groupes abéliens (ou de -Modules à gauche sur un faisceau d'anneaux ).
  • Soit X un espace topologique paracompact et un faisceau sur X, à valeurs dans une catégorie concrète. Si est flasque, il est mou.

Exemples[modifier | modifier le code]

Soit X une variété différentielle paracompacte de dimension n. Les faisceaux de groupes abéliens de base X suivants sont mous: le faisceau des germes de fonctions continues sur X, le faisceau des germes de fonctions indéfiniment dérivables sur X, le faisceau des germes de distributions sur X. En revanche, ces faisceaux ne sont pas flasques[13].

Faisceaux fins[modifier | modifier le code]

Définition et propriétés générales[modifier | modifier le code]

  • Soit X un espace topologique paracompact et un faisceau de groupes abéliens de base X. Ce faisceau est dit fin si le faisceau d'anneaux est mou.
  • Le faisceau est fin si, et seulement si étant donné deux sous-ensembles fermés A et B de X, il existe un homomorphisme induisant l'identité au voisinage de A et 0 au voisinage de B.
  • Si et sont des faisceaux de groupes abéliens et si est fin, alors le faisceau de groupes abéliens est fin (cette propriété explique l'importance des faisceaux fins).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le faisceau des germes d'applications de X dans est fin, et il en va donc de même de tout -Module.
  • Si X est une variété différentielle paracompacte de dimension finie, les faisceaux d'anneaux commutatifs suivants sont fins: le faisceau des germes de fonctions réelles différentiables sur X, ainsi que les faisceaux et (voir supra). Il en va donc de même des faisceaux de Modules sur ces faisceaux d'anneaux, par exemple du faisceau des germes de distributions ou des formes différentielles extérieures sur X.
  • En revanche, le faisceau simple de fibre et le faisceau des germes de fonctions holomorphes sur une variété analytique paracompacte de dimension finie ne sont pas fins[14].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]