Théorème d'Erdős-Mordell

Le théorème d'Erdős-Mordell, ou l'inégalité d'Erdős-Mordell, est un théorème de géométrie euclidienne donnant une comparaison entre la somme des distances d'un point aux côtés d'un triangle et la somme des distances aux sommets. Il porte les noms des mathématiciens Paul Erdős qui l'a conjecturé en 1935 et Louis Mordell qui l'a prouvé en 1937, conjointement avec David Francis Barrow (en), en utilisant la trigonométrie. Des preuves plus élémentaires que celle de Mordell furent données par Donat K. Kazarinoff^[1] en 1945^[2], puis par Leon Bankoff en 1958^[3].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour tout point M intérieur à un triangle ou situé sur sa frontière, la somme des distances de M aux trois sommets est ou supérieure ou égale au double de la somme des distances de M aux [droites portant les] trois côtés, avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral et M en est le centre^[1]^,^[4]^,^[5]^,^[6]^,^[7].

Plus précisément, soit ABC un triangle, M un point intérieur à ce triangle, H, K et L les projetés orthogonaux de M respectivement sur (AC), (BC) et (AB). L'inégalité d'Erdős-Mordell s'énonce :

$MA+MB+MC\geqslant 2(MH+MK+ML)$ .

Une démonstration[modifier | modifier le code]

On montre d'abord $MA\geqslant {\frac {CA\cdot ML+AB\cdot MH}{BC}}$ .

D'après la cocyclicité de H, M, L, A (angles droits en H et L) , les angles ${\widehat {HLA}}$ et ${\widehat {HMA}}$ sont égaux.

Notons maintenant E et F les projections orthogonales de B et C sur la droite (LH). On a alors

BC\geqslant EF=EL+LH+HF

Les angles opposés par le sommet ${\widehat {BLE}}$ et ${\widehat {HLA}}$ étant égaux, donc aussi ${\widehat {BLE}}$ et ${\widehat {HMA}}$ , les triangles rectangles BLE et HMA sont semblables, ce qui implique ${\frac {LE}{MH}}={\frac {BL}{MA}}$ . On montre de façon similaire que $FH=ML{\frac {CH}{MA}}$ .

On obtient donc $BC\cdot MA\geqslant MA\cdot (EL+LH+HF)=BL\cdot MH+ML\cdot CH+LH\cdot MA$ .

D'autre part, le théorème de Ptolémée appliqué au quadrilatère inscriptible ALMH permet d'écrire que $LH\cdot MA=AL\cdot MH+AH\cdot ML$ .

En combinant les deux résultats, on obtient l'inégalité voulue. De même, $MB\geqslant {\frac {AB\cdot MK+BC\cdot ML}{CA}}$ et $MC\geqslant {\frac {BC\cdot MH+CA\cdot MK}{AB}}$ .

En additionnant membre à membre ces trois inégalités, on obtient bien :

MA+MB+MC\geqslant \left({\frac {AB}{BC}}+{\frac {BC}{AB}}\right)MH+\left({\frac {AB}{CA}}+{\frac {CA}{AB}}\right)MK+\left({\frac {CA}{BC}}+{\frac {BC}{CA}}\right)ML\geqslant 2(MH+MK+ML)

car

\left(x+1/x\right)\geqslant 2

pour tout

x>0

.

La deuxième inégalité est une égalité si et seulement si AB = BC = CA autrement dit si le triangle est équilatéral.

La première inégalité est une égalité si seulement si (EF) est parallèle à (BC) et de même pour les deux autres cas, donc si et seulement si M se trouve sur les trois hauteurs, donc enfin si et seulement si M est le centre du triangle.

Généralisation aux polygones convexes[modifier | modifier le code]

Pour tout point M intérieur à un polygone convexe à n côtés ou situé sur sa frontière, la somme des distances de M aux n sommets est ou supérieure ou égale à la somme des distances de M aux [droites portant les] n côtés divisée par $\cos {\frac {\pi }{n}}$ ^[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ ^{a et b} (en) D. K. Kazarinoff, « A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles », Michigan Mathematical Journal, vol. 4, n^o 2,‎ 1957, p. 97-98 (lire en ligne).
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Erdős-Mordell Theorem », sur MathWorld.
↑ (en) Leon Bankoff, « An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem », Amer. Math. Month., vol. 65, n^o 7,‎ 1958, p. 521 (JSTOR 2308580).
↑ (en) Hojoo Lee, « Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem », Forum Geometricorum, vol. 1,‎ 2001, p. 7–8 (lire en ligne)
↑ Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 388,389
↑ ^{a et b} Mohammed Aassilla, 1000 challenges mathématiques, Analyse, Ellipses, 2016, p. 604-613
↑ Jean-Pierre Boudine, L'appel des maths, t. 2, Cassini, p. 259-264

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Point de Fermat réalisant le minimum de $MA+MB+MC$

Inégalité de Barrow (en)

Liens externes[modifier | modifier le code]

Théorème d'Erdös-Mordell sur bibmath.net
(en) Erdös-Mordell Inequality sur Cut The Knot

Portail de la géométrie

[Kazarinoff3-1] {a et b} (en) D. K. Kazarinoff, « A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles », Michigan Mathematical Journal, vol. 4, n^o 2,‎ 1957, p. 97-98 (lire en ligne).

[2] (en) Eric W. Weisstein, « Erdős-Mordell Theorem », sur MathWorld.

[3] (en) Leon Bankoff, « An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem », Amer. Math. Month., vol. 65, n^o 7,‎ 1958, p. 521 (JSTOR 2308580).

[4] (en) Hojoo Lee, « Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem », Forum Geometricorum, vol. 1,‎ 2001, p. 7–8 (lire en ligne)

[:02-5] Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 388,389

[:0-6] {a et b} Mohammed Aassilla, 1000 challenges mathématiques, Analyse, Ellipses, 2016, p. 604-613

[7] Jean-Pierre Boudine, L'appel des maths, t. 2, Cassini, p. 259-264

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[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron