Cubique du triangle

Un triangle et les six premières cubiques associées, selon la classification de Bernard Gibert

Une cubique du triangle est une courbe cubique plane passant par plusieurs points remarquables du triangle.

Histoire[modifier | modifier le code]

Émile Lemoine a étudié plusieurs de ces cubiques en 1900^[1].

Bernard Gibert, mathématicien français, a créé une encyclopédie en ligne des cubiques du triangle répertoriant 1280 courbes (au 11 juillet 2022) avec leurs équations barycentriques, les centres du triangle appartenant à la courbe et les propriétés géométriques de la courbe^[2].

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Isocubique[modifier | modifier le code]

Pour un triangle ABC et un point P dans le plan du triangle, on appelle isocubique ou cubique isogonale pivotale ou cubique pK-isogonale la courbe cubique des points M tels que M, P et le conjugué isogonal de M par rapport à ABC sont alignés. Le centre de conjugaison est appelé pivot.

Elle passe nécessairement par les centres des cercles inscrit et exinscrits du triangle de référence^[3].

Cubique isotomique pivotale[modifier | modifier le code]

Pour un triangle ABC et un point P dans le plan du triangle, on appelle cubique isotomique pivotale la courbe cubique des points M tels que M, P et le conjugué isotomique de M par rapport à ABC sont alignés. Le centre de conjugaison est appelé pivot.

Exemples[modifier | modifier le code]

Cubique de Darboux[modifier | modifier le code]

Cubique de Darboux d'un triangle ABC. La courbe passe par ses sommets, son orthocentre H, les centres de ses cercles inscrit I, circonscrit O, exinscrits I_A, I_B, I_C, son point de Bevan V et son point de Longchamps L.

La cubique de Darboux d'un triangle est l'ensemble des points dont le triangle podaire est en homologie avec le triangle de référence.

C'est une cubique auto-isogonale dont le point pivot est le point de Longchamps du triangle de référence. Son centre de symétrie est le centre du cercle circonscrit au triangle.

La cubique de Darboux passe par dix points remarquables du triangle : ses trois sommets, les centres de ses cercles circonscrit, inscrit et exinscrits, son orthocentre, son point de Longchamps, son point de Bevan et leurs conjugués isogonaux^[4].

Son équation trilinéaire est, pour un triangle de côtés $a = BC$ , $b = AC$ , $c = AB$ , et d'angles aux sommets $A$ , $B$ , $C$ :

\left(\cos(A)-\cos(B)\cos(C)\right)\alpha (\beta ^{2}-\gamma ^{2})+\left(\cos(B)-\cos(C)\cos(A)\right)\beta (\gamma ^{2}-\alpha ^{2})+\left(\cos(C)-\cos(A)\cos(B)\right)\gamma (\alpha ^{2}-\beta ^{2})=0.

Cubique de Neuberg[modifier | modifier le code]

Cubique de Neuberg d'un triangle ABC. La courbe passe par ses sommets, son orthocentre H, les centres de ses cercles inscrit I, circonscrit O, exinscrits I_A, I_B, I_C et ses points de Fermat X et X'.

La cubique de Neuberg d'un triangle est une cubique auto-isogonale dont le point pivot est le point à l'infini d'Euler (Nombre de Kimberling $X 30$ ) du triangle de référence. Elle est formée par tous les points P tels que, pour le conjugué isogonal P* de P, la droite (PP*) soit parallèle à la droite d'Euler du triangle.

La cubique de Neuberg passe par dix points remarquables du triangle : ses trois sommets, les centres de son cercle circonscrit, de son cercle inscrit et de ses cercles exinscrits, son orthocentre, ses points de Fermat, ses points isodynamiques, le point à l'infini d'Euler et leurs conjugués isogonaux^[5]. Dans certains articles, elle est même désignée sous le nom de "conique des 21 points" ou "conique des 37 points". Neuberg l'a étudié dans son Mémoire sur le tétraèdre dans le cadre des "quadrangles involutifs"^[6].

Son équation trilinéaire est, pour un triangle de côtés $a = BC$ , $b = AC$ , $c = AB$ , et d'angles aux sommets $A$ , $B$ , $C$ :

\left(\cos(A)-2\cos(B)\cos(C)\right)\alpha (\beta ^{2}-\gamma ^{2})+\left(\cos(B)-2\cos(C)\cos(A)\right)\beta (\gamma ^{2}-\alpha ^{2})+\left(\cos(C)-2\cos(A)\cos(B)\right)\gamma (\alpha ^{2}-\beta ^{2})=0.

Cubique de Lucas[modifier | modifier le code]

Cubique de Lucas d'un triangle ABC. La courbe passe par ses sommets, son orthocentre H, les centres de ses cercles inscrit I, circonscrit O et exinscrits I_A, I_B, I_C, et les milieux des côtés M_A, M_B, M_C.

La cubique de Lucas est une cubique isotomique pivotale, de pivot le conjugué isotomique de l'orthocentre (nombre de Kimberling $X 69$ ).

Elle désigne tous les points dont la polaire trilinéaire est orthogonale à la droite passant par ce point et le centre du cercle circonscrit.

La cubique de Lucas passe par 16 points remarquables du triangle : ses trois sommets, les trois milieux de ses côtés, les centres de son cercle circonscrit, de son cercle inscrit et ses cercles exinscrits, son orthocentre, les milieux de ses hauteurs et son point de Lemoine^[7].

Son équation barycentrique est, pour un triangle de côtés $a = BC$ , $b = AC$ , $c = AB$ :

a^{2}yz(y-z)+b^{2}zx(z-x)+c^{2}xy(x-y)=0.

Si un point P est sur la cubique de Lucas du triangle, le point Q tel que le triangle cévien de P est le triangle podaire de Q est sur sa cubique de Darboux^[8].

Cubique de Lemoine[modifier | modifier le code]

La cubique de Lemoine est une cubique définie comme les points telles que les intersections des céviennes passant par ces points et des médiatrices des côtés du triangle sont alignées. Le nom de cubique de Lemoine a été donné par Joseph Neuberg^[9].

Elle passe par les sommets du triangle, son orthocentre, les milieux de ses côtés et le centre de son cercle circonscrit.

Les points d'intersection de la cubique et du cercle circonscrit au triangle sont aux sommets du triangle et de son triangle normal circonscrit.

Les asymptotes de cette cubique sont parallèles à celles de l'orthocubique, la cubique isogonale pivotale de pivot l'orthocentre.

Cubique de McKay[modifier | modifier le code]

La cubique de McKay, du nom de Brendan Damien McKay, ou cubique de Griffiths, est une cubique auto-isogonale, de pivot le centre du cercle circonscrit, qui est le lieu des points dont le cercle podaire touche le cercle d'Euler du triangle de référence.

La cubique de McKay est le lieu des points pour lesquels les triangles podaires et céviens associés au point sont homologiques^[10].

Cubique de Thomson[modifier | modifier le code]

La cubique de Thomson est une cubique auto-isogonale, de pivot le centre de gravité. C'est le lieu des centres des coniques circonscrites au triangle dont les normales aux sommets sont concourantes.

La cubique de Thomson est aussi appelée cubique des dix-sept points, car elle passe par les sommets, les milieux de ses côtés, les milieux de ses hauteurs, les centres des cercles circonscrit, inscrit et exinscrits, le centre de gravité, l'orthocentre et le point de Lemoine du triangle ; elle passe aussi par le mittenpunkt du triangle^[11].

Cubiques et triangles bilogiques[modifier | modifier le code]

Deux triangles ABC et A'B'C' sont dits bilogiques, s'ils sont à la fois homologiques (les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes) et orthologiques (les droites perpendiculaires à (B'C') passant par A, (C'A') passant par B, et (A'B') passant par C sont concourantes).

En particulier, pour un triangle ABC et un point P, si le triangle podaire A'B'C' de P par rapport à ABC correspond au triangle ABC dans une homologie de centre Q, alors ABC et A'B'C' sont bilogiques. On considère également la conique de Thomson, circonscrite à A'B'C' et inscrite à ABC, dont on note le centre O. Dans cette configuration^[12]:

le lieu des points P est la cubique de Darboux de ABC ;
le lieu des points Q est la cubique de Lucas de ABC ;
le lieu des centres O est la cubique de Thomson de ABC.

Références[modifier | modifier le code]

↑ Émile Lemoine, « Suite de théorèmes et de résultats concernant la géométrie du triangle », Extrait des Comptes rendus de l’Association française pour l’avancement des sciences Congrès de Paris,‎ 1900 (lire en ligne)
↑ (en) « Cubics in the Triangle Plane - Home Page »
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Pivotal Isogonal Cubic », sur MathWorld
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Darboux Cubic », sur MathWorld
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Neuberg Cubic », sur MathWorld
↑ (en) Abdilkadir Altınta, « On Some Properties Of Neuberg Cubic », International Journal of Computer Discovered Mathematics, vol. 5,‎ 2020, p. 22-49 (ISSN 2367-7775)
↑ Bulletin de l'APMEP n°420, janvier/février 1999
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Lucas Cubic », sur MathWorld
↑ (en) Bernard Gibert, « The Lemoine cubic and its generalizations », Forum Geometricum, vol. 2,‎ 2002 (lire en ligne).
↑ (en) Eric W. Weisstein, « M'Cay Cubic », sur MathWorld
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Thomson Cubic », sur MathWorld
↑ R. Deaux, « Sur un point remarquable du triangle : A propos d'un article de M. G. Franke », L'Enseignement Mathématique, vol. 28,‎ 1929 (lire en ligne).

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Triangle Cubic », sur MathWorld
Bernard Gibert, Catalog of Triangle Cubics, 2010-2016, archive

[1] Émile Lemoine, « Suite de théorèmes et de résultats concernant la géométrie du triangle », Extrait des Comptes rendus de l’Association française pour l’avancement des sciences Congrès de Paris,‎ 1900 (lire en ligne)

[2] (en) « Cubics in the Triangle Plane - Home Page »

[3] (en) Eric W. Weisstein, « Pivotal Isogonal Cubic », sur MathWorld

[4] (en) Eric W. Weisstein, « Darboux Cubic », sur MathWorld

[5] (en) Eric W. Weisstein, « Neuberg Cubic », sur MathWorld

[6] (en) Abdilkadir Altınta, « On Some Properties Of Neuberg Cubic », International Journal of Computer Discovered Mathematics, vol. 5,‎ 2020, p. 22-49 (ISSN 2367-7775)

[7] Bulletin de l'APMEP n°420, janvier/février 1999

[8] (en) Eric W. Weisstein, « Lucas Cubic », sur MathWorld

[9] (en) Bernard Gibert, « The Lemoine cubic and its generalizations », Forum Geometricum, vol. 2,‎ 2002 (lire en ligne).

[10] (en) Eric W. Weisstein, « M'Cay Cubic », sur MathWorld

[11] (en) Eric W. Weisstein, « Thomson Cubic », sur MathWorld

[12] R. Deaux, « Sur un point remarquable du triangle : A propos d'un article de M. G. Franke », L'Enseignement Mathématique, vol. 28,‎ 1929 (lire en ligne).

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron