Théorème de Terquem

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Le théorème de Terquem est un théorème de géométrie du triangle dû à Olry Terquem.

Cévienne[modifier | modifier le code]

On appelle cévienne une droite d'un triangle issue d'un sommet et sécante avec le côté opposé.
(les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes).

Triangle pédal[modifier | modifier le code]

Soit ABC un triangle et un point I distinct des sommets. Les céviennes (AI), (BI) et (CI) coupent - en général - les côtés opposés du triangle en trois points A’, B’ et C’.

Le triangle A’B’C’, qui joint les pieds des trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I, est le triangle pédal du point I par rapport au triangle ABC. Son cercle circonscrit est appelé cercle pédal de I par rapport au triangle ABC.

Le triangle pédal correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian. Le cercle d'Euler est le cercle pédal de l'orthocentre et du centre de gravité.

Théorème de Terquem[modifier | modifier le code]

Soit ABC un triangle, et trois céviennes du triangle concourantes en un point I. Le cercle pédal de I, passant par les pieds de ces céviennes, détermine trois autres points sur les côtés du triangle. Ces trois autres points sont également les pieds de céviennes concourantes. Ces six points sont appelés points de Terquem.

Terquem.gif

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Lorsque les céviennes sont confondues deux à deux, le cercle est inscrit dans le triangle qu'il touche aux trois points doubles ; ces céviennes sont concourantes au point de Gergonne.


Lorsqu'un des triplés est formé par les médianes, l'autre l'est par les hauteurs ou réciproquement, on a alors le cercle d'Euler.

Démonstration[modifier | modifier le code]

D'après le théorème de Céva, si les trois droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes on a :


\frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}} = -1

La puissance du point A par rapport au cercle circonscrit à A'B'C' est


p = \overline{B'A} \times \overline{B_1A} = \overline{C'A} \times \overline{C_1A}

d'où les rapports égaux :


\frac{\overline{C'A}}{\overline{B'A}} = \frac{\overline{B_1A}}{\overline{C_1A}}

De même, la puissance de B permet d'écrire


\frac{\overline{A'B}}{\overline{C'B}} = \frac{\overline{C_1B}}{\overline{A_1B}}

Enfin, la puissance de C permet d'écrire


\frac{\overline{B'C}}{\overline{A'C}} = \frac{\overline{A_1C}}{\overline{B_1C}}

Le produit des trois rapports de gauche est égal à -1, d'où produit des rapports de droite est aussi égal à -1, et :


\frac{\overline{A_1C}}{\overline{A_1B}}\frac{\overline{B_1A}}{\overline{B_1C}}\frac{\overline{C_1B}}{\overline{C_1A}} = -1

D'après la réciproque du théorème de Céva, les trois droites (AA1), (BB1) et (CC1) sont concourantes.