Formule de Héron

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Notations usuelles dans un triangle

En géométrie euclidienne, la formule de Héron, du nom de Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :

A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad\text{avec}\quad s = \frac 12 (a+b+c)

s est le demi-périmètre du triangle, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et A est l'aire du triangle.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Héron d'Alexandrie énonce et démontre son théorème dans son traité Les Métriques. Sa démonstration s'appuie sur les propriétés du cercle inscrit dans un triangle et sur l'exploitation des rapports de longueurs dans des triangles semblables[1]. Les propriétés trigonométriques permettent une démonstration plus courte de cette égalité. Mais de nombreuses autres démonstrations sont envisageables.

La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d'Al-Kashi en utilisant

\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

puis la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :

\begin{align}
A&= \frac 12 ab\sin\gamma\\
&=\frac 12ab\sqrt{1-\cos^2\gamma}\\
&=\frac 12 ab\sqrt{(1+\cos\gamma)(1-\cos\gamma)}\\
&=\frac12ab\sqrt{\left(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\\
&=\frac14\sqrt{\left(a^2+2ab+b^2-c^2\right)\left(-(a^2-2ab+b^2)+c^2)\right)}\\
&=\frac14\sqrt{\left((a+b)^2-c^2\right)\left(c^2-(a-b)^2\right)}\\
&=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}.
\end{align}

On obtient la formule de Héron en substituant

a = 2s-b-c\, dans la formule ci-dessus.

Variantes[modifier | modifier le code]

D'après les calculs intermédiaires ci-dessus, on a aussi :

\begin{align}16A^2&=(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)\\&=2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\&=(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4).\end{align}

Mise en œuvre numérique[modifier | modifier le code]

La formule de Héron présente une instabilité lors du calcul numérique, qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres (confrontation de petites et grandes valeurs).

En choisissant les noms de côtés de sorte à ce que a > b > c\, et en réorganisant les termes de façon à optimiser les grandeurs ajoutées ou soustraites, on obtient la formule de Kahan, plus stable :

A = \frac14 \sqrt{\left(a+(b+c)\right)\left(c-(a-b)\right)\left(c+(a-b)\right)\left(a+(b-c)\right)}\,.

Généralisation[modifier | modifier le code]

En géométrie sphérique[modifier | modifier le code]

En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui permet de déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.

Pour les quadrilatères[modifier | modifier le code]

Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est nécessaire. Voir : Formule de Bretschneider (en) et Formule de Brahmagupta.

Pour les tétraèdres[modifier | modifier le code]

Le volume d'un tétraèdre est donné en fonction de la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger (en) ; voir aussi ici.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une étude détaillée de sa démonstration voir Héron's Formula for triangular aera, Christy Williams, Crystal Holcomb, Kayla Gifford , département de math et sciences de l'université du Kentucky.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]