Formule de Héron

Notations usuelles dans un triangle

En géométrie euclidienne, la formule de Héron, du nom de Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ avec

$s = \frac 12 (a+b+c) \,$

s est le demi-périmètre du triangle, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et A est l'aire du triangle.

Démonstration

La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d'Al-Kashi en utilisant

$\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

puis la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :

$A \,$	$= \frac 12 ab\sin\gamma\,$
	$=\frac 12ab\sqrt{1-\cos^2\gamma}\,$
	$=\frac 12 ab\sqrt{(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)}\,$
	$=\frac12ab\sqrt{\left(1-\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)\left(1+\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)}$
	$=\frac14\sqrt{\left((a+b)^2-c^2\right)\left(c^2-(a-b)^2\right)}$
	$=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}\,$

On obtient la formule de Héron en substituant

$a = 2s-b-c\,$ dans la formule ci-dessus.

Variantes

D'après les calculs intermédiaires ci-dessus, on a aussi :

$\begin{align}16A^2&=(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)\\&=2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\&=(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)~.\end{align}$

Mise en œuvre numérique

La formule de Héron présente une instabilité lors du calcul numérique, qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres (confrontation de petites et grandes valeurs).

En choisissant les noms de côtés de sorte à ce que $a > b > c\,$ et en réorganisant les termes de façon à optimiser les grandeurs ajoutées ou soustraites, on obtient la formule de Kahan, plus stable :

$A = \frac14 \sqrt{\left(a+(b+c)\right)\left(c-(a-b)\right)\left(c+(a-b)\right)\left(a+(b-c)\right)}\,$.

Généralisation

En géométrie sphérique

En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui permet de déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.

Pour les quadrilatères

Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est nécessaire. Voir : Formule de Bretschneider (en) et Formule de Brahmagupta.

Pour les tétraèdres

Le volume d'un tétraèdre est donné en fonction de la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger (en) ; voir aussi ici.

Voir aussi

Articles connexes

• Trigonométrie
• Triangulation
• Résolution d'un triangle
• Aire du trapèze

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Heron's formula », MathWorld
• (en) William Kahan, Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle [PDF]