Théorème de Napoléon

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Figure du théorème de Napoléon

Le théorème de Napoléon est un théorème de géométrie portant sur des triangles équilatéraux construits à partir d'un triangle quelconque.

Bien qu'il soit traditionnellement attribué à Napoléon Bonaparte (d'où le nom du théorème), il n'y a pas de preuve tangible qu'il soit effectivement l'auteur du théorème. L'énoncé apparaît en effet en 1825 dans la revue The Ladies Diary[1],[2],[3],[4], soit quatre ans après la mort de l'empereur. Le nom de Napoléon attribué à ce théorème apparaît pour la première fois en 1911 dans un ouvrage mathématique italien ; l'auteur y affirme que le problème a été posé par Napoléon à Lagrange sans autre précision[5],[6].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Napoléon — Si nous construisons trois triangles équilatéraux à partir des côtés d'un triangle quelconque, tous à l'extérieur ou tous à l'intérieur, les centres de ces triangles équilatéraux forment eux-mêmes un triangle équilatéral.

Remarques :

  • Par « extérieur », il faut par exemple entendre qu'avec les notations de notre figure et un repère orienté, les triangles ABC et ABZ sont de sens opposés (ici ABC est dans le sens trigonométrique et ABZ dans le sens anti-trigonométrique), idem pour les deux autres. Dans le cas « intérieur », ils seraient de même sens.
  • Par « centre », il faut comprendre centre de gravité c'est-à-dire barycentre, soit pour un triangle, l'intersection des trois médianes.

Démonstration[modifier | modifier le code]

En géométrie classique[modifier | modifier le code]

Les triangles MCL et ACX sont semblables, avec un rapport de 3. En effet, CA/CM = 3 = CX/CL et les angles <MCL et <ACX sont égaux. Ou dans un langage plus moderne : par la similitude directe (composée d'une homothétie et d'une rotation) de centre C, d'angle ±30 degrés (dans le sens approprié) et de rapport 3, les points M et L deviennent respectivement les points A et X.

D'où il résulte que la longueur du segment AX est égale à 3 fois celle de ML.

En appliquant le même raisonnement aux triangles NBL et ABX, on montre que la longueur de AX est aussi égale à 3 fois celle de NL. Ainsi, ML et NL ont même longueur.

On démontre de même – par comparaison avec BY – que LM et NM ont même longueur.

En conclusion : NL = ML = NM et le triangle MNL est équilatéral.

Avec les nombres complexes[modifier | modifier le code]

On notera j = e^{i\frac{2\pi}{3}} (notation usuelle) et on utilisera les notations de la figure.

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct. Soient a, b, c, l, m et n les affixes respectives des points A, B, C, L, M et N dans ce repère.

Par construction, A est l'image de B par la rotation de centre N et d'angle \textstyle{+\frac{2\pi}{3}}, ce qui se traduit par :

(a-n) = j(b-n).

De même :

(b-l) = j(c-l)\quad\text{et}\quad(c-m) = j(a-m).

On en déduit :

(1-j)n = a-jb,\quad(1-j)l = b-jc\quad\text{et}\quad (1-j)m = c-ja.

Comme \textstyle{\frac{1}{j}+1+j = 0} et j^3 = 1, alors :

\begin{align}(1-j)(m-n)&=(-1-j)a+jb+c\\
&= j^2a+j^4b+j^3c\\
&= -j^2[-a+(1+j)b-jc]\\
&= -j^2[(b-jc)-(a-jb)]\\
&= -j^2(1-j)(l-n)\end{align}

En divisant par (1-j) on obtient (m-n) = -j^2(l-n) ou encore \scriptstyle(m-n) = e^{i\frac{\pi}{3}}(l-n).

M est l'image de L par la rotation de centre N et d'angle \textstyle{+\frac{\pi}{3}} donc NLM est un triangle équilatéral direct.

Remarque : cette démonstration reste valable dans le cas des triangles « intérieurs » en changeant quelques signes.

Lemmes[modifier | modifier le code]

Lemme 1 — Les centres de gravité du triangle de départ ABC et du triangle final LMN coïncident.

Ce lemme peut être facilement démontré en reprenant les notations de la démonstration avec les nombres complexes :

(1-j)(n+l+m) = a-jb+b-jc+c-ja

= (1-j)(a+b+c)

d'où l'égalité pour les affixes des barycentres \tfrac{n+l+m}{3} = \tfrac{a+b+c}{3}

Lemme 2 — La valeur absolue de la différence entre l'aire du triangle final "extérieur" LMN et l'aire du triangle final "intérieur" L_{1}M_{1}N_{1} est égale à l'aire du triangle de départ ABC.

Reprenons les notations précédentes, pour le triangle « intérieur » (remarquons au passage que le point N_{1} est le symétrique du point N par rapport au segment de droite AB) ; on obtient alors :

(1-j)n_1 = b-ja
(1-j)l_1 = c-jb
(1-j)m_1 = a-jc

et sachant que l'aire d'un triangle équilatéral de côté a peut être obtenu par : \mathcal{A} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 et que z \overline{z} = \left|z\right|^2, calculons la différence :

\mathcal{A} = \frac{\sqrt{3}}{4}\left[(l-n)\overline{(l-n)} - (l_1-n_1)\overline{(l_1-n_1)}\right]

= \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{1}{(1-j)\overline{(1-j)}} \left\{\left[(b-a)-j(c-b)\right]\left[\overline{(b-a)}-j^2\overline{(c-b)}\right]-\left[(c-b)-j(b-a)\right]\left[\overline{(c-b)}-j^2\overline{(b-a)}\right]\right\} car \overline{j} = j^2
= \frac{1}{4\sqrt{3}} \left\{2j(b-a)\overline{(c-b)}-(c-b)\overline{(b-a)}-2j(c-b)\overline{(b-a)}+(b-a)\overline{(c-b)}\right\} en développant et en sachant que j^2 = -1-j

Comme 2j = -1+i\sqrt{3} il vient :

\mathcal{A} = \frac{1}{4\sqrt{3}} \left\{i\sqrt{3}(b-a)\overline{(c-b)}-i\sqrt{3}(c-b)\overline{(b-a)}\right\}

= \frac{1}{4i} \left\{(c-b)\overline{(b-a)}-(b-a)\overline{(c-b)}\right\}

Le résultat précédent est bien l'aire (algébrique) du triangle dont les affixes des sommets sont a, b et c.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) W. Rutherford, « Question 1439 », The Ladies Diary, vol. 122,‎ 1825, p. 47
  2. (de) Fritz Schmidt, « 200 Jahre französische Revolution – Problem und Satz von Napoleon », Didaktik der Mathematik, vol. 19,‎ 1990, p. 15-29 (lire en ligne)
  3. (en) John E. Wetzel, « Converses of Napoleon's Theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 99,‎ 1992, p. 339-351 (lire en ligne) Résumé sur Zentralblatt
  4. (en) Branko Grünbaum, « Is Napoleon's Theorem Really Napoleon's Theorem ? », Amer. Math. Monthly, vol. 119, no 6,‎ 2012, p. 495-501 (DOI 10.4169/amer.math.monthly.119.06.495)
  5. (it) Aureliano Faifofer (it), Elementi di geometria, ad uso degli istituti tecnici e dei licei, Venise, Sorteni & Vidotti,‎ 1911, 17e éd.. Le théorème apparaît p.186.
  6. Grünbaum 2012, op. cit.. Selon cet auteur, l'identification du théorème par le nom de Napoléon a eu un tel succès au XXe siècle qu'il est devenu vain désormais de chercher à le désigner autrement.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Michel Hort, « Le triangle de Napoléon », sur le-triangle-et-ses-calculs.ch