Cercle podaire

En géométrie, le cercle podaire d'un point par rapport à un triangle de référence est le cercle passant par les projetés du point sur les côtés du triangle. Le triangle ayant ces trois projetés pour sommets est appelé triangle podaire du point par rapport au triangle de référence.

Le terme « podaire » est parfois remplacé par « pédal »^[1] ce qui peut entrainer une confusion avec la définition du triangle cévien qui est aussi désigné comme triangle pédal.

Définition[modifier | modifier le code]

On considère un triangle ABC et un point P coplanaire, différent de A, B et C. On construit les points P_A, P_B, P_C, les projetés orthogonaux de P sur (BC), (AC), (AB) respectivement. Le cercle podaire de P pour le triangle ABC est donc l'unique cercle passant par P_A, P_B et P_C, qu'on appelle donc triangle podaire de P pour le triangle ABC.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Pour un triangle donné, un point et son conjugué isogonal ont le même cercle podaire^[2].

Le centre de l'hyperbole équilatère passant par A, B, C et P se trouve également sur le cercle podaire de P par rapport à ABC^[1].

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Le cercle podaire du centre du cercle inscrit du triangle est son cercle inscrit.

Le cercle podaire de l'orthocentre du triangle est son cercle d'Euler, son triangle podaire est donc le triangle orthique.

Le triangle podaire du premier point isodynamique est le triangle équilatéral inscrit au premier triangle de surface minimale^[3].

Quand le point P est sur un des côtés (étendu) du triangle, le cercle podaire dégénère en une droite, qu'on appelle droite podaire.

Théorèmes de Fontené[modifier | modifier le code]

Il existe trois théorèmes attribués à Georges Fontené sur les propriétés des cercles podaires.

Premier théorème de Fontené[modifier | modifier le code]

Soit ABC un triangle, on note O son centre du cercle circonscrit, et P un point du plan, A'B'C' le triangle médian de ABC, et XYZ le triangle podaire de P par rapport à ABC. On note D, E, F les intersections des côtés (éventuellement prolongés) de A'B'C' et XYZ (e.g., D est l'intersection de (B'C') et (YZ), etc.), alors les droites (XD), (YE) et (ZF) sont concourantes en un point M commun aux cercles circonscrits à A'B'C' (qui est donc le cercle d'Euler de ABC) et XYZ.

Ce point est appelé le "point de Fontené de O et P relativement à ABC"^[4].

Deuxième théorème de Fontené[modifier | modifier le code]

Ce résultat est aussi connu sous de théorème de Griffiths, du nom du mathématicien John Griffiths^[5]^,^[6].

On considère un point mobile P sur une droite fixe qui passe par le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Alors le faisceau de cercles podaires de P par rapport à ABC passe par un point fixe sur le cercle d'Euler de ABC, appelé point de Griffiths du cercle d'Euler.

Troisième théorème de Fontené[modifier | modifier le code]

Pour un triangle ABC, le cercle podaire d'un point P par rapport à ABC est tangent au cercle d'Euler de ABC si et seulement si P, son conjugué isogonal et le centre du cercle circonscrit à ABC sont alignés^[7]^,^[8].

On peut en déduire le théorème de Feuerbach, en prenant le centre du cercle inscrit à ABC comme point P.

Cercles podaires dans un quadrilatère[modifier | modifier le code]

Points d'Euler et de Poncelet d'un quadrilatère[modifier | modifier le code]

En géométrie, le centre d'Euler d'un quadrilatère (ou point d'Euler) est le point de concours des quatre cercles d'Euler des triangles formés à partir des sommets du quadrilatère^[9]^,^[10]^,^[11].

Le point de Poncelet d'un quadrilatère se construit sur un principe similaire : au lieu de construire les cercles d'Euler des triangles, donc passant par les milieux des côtés de chaque triangle, on construit les cercles passant par les milieux des trois segments issus d'un même sommet. Ces quatre cercles sont concourants en un même point, appelé point de Poncelet du quadrilatère.

Points d'Euler et de Poncelet d'un quadrilatère convexe.
Points d'Euler et de Poncelet d'un quadrilatère concave.

Point d'Euler-Poncelet[modifier | modifier le code]

Cercles podaires d'un quadrilatère

Pour un quadrilatère ABCD, on appelle cercle podaire de ABCD issu de A le cercle podaire de A par rapport au triangle BCD^[12].

Point d'Euler-Poncelet

Dans un quadrilatère ABCD, les cercles d'Euler des quatre triangles ABC, ABD, ACD, BCD sont concourants en un point, appelé point d'Euler-Poncelet du quadrilatère.

Démonstration géométrique de l'existence du point d'Euler-Poncelet

On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs de AB, BC, CD, DA, AC, BD. Les cercles d'Euler des triangles BCD et ACD se croisent en N et un deuxième point, noté P.

Par le théorème des milieux appliqué aux triangles BCD et ACD, les droites (JN) et (LM) sont parallèles (car parallèles toutes deux à (CD)). De même, (IM) et (KN) sont parallèles. Ceci implique ${\widehat {LMI}}={\widehat {JNK}}$ . De plus, par le théorème de l'angle inscrit, ${\widehat {JNK}}={\widehat {JPK}}$ .

D'autre part, le théorème de Varignon permet de dire que (LK) et (IJ) sont parallèles.

Enfin, par le théorème des cinq cercles de Lebesgue, ${\widehat {LMI}}={\widehat {JPK}}$ implique que M, P, I, J sont cocycliques, et P se trouve donc sur le cercle d'Euler de ABC. Un raisonnement similaire permet de déduire que P est également sur le cercle d'Euler de ABD.

Le centre d'Euler d'un quadrilatère est le centre de l'unique hyperbole équilatère passant par les quatre sommets du quadrilatère.

Propriétés

Le point d'Euler-Poncelet se trouve sur les quatre cercles podaires de ABCD issus de chacun des sommets^[13].

On note R le point d'intersection de (AB) et (CD), S le point d'intersection de (AC) et (BD), T le point d'intersection de (AD) et (BC). Le point d'Euler-Poncelet est sur le cercle circonscrit du triangle PQR^[13].

Les points d'Euler et de Poncelet d'un quadrilatère sont symétriques par rapport au centre de gravité du quadrilatère.

Le centre d'Euler du quadrilatère est le centre de l'unique hyperbole équilatère passant par les quatre sommets.

Références[modifier | modifier le code]

↑ ^{a et b} G. Fontené, « Sur le cercle pédal », Nouvelles annales de mathématiques, 4^e série, vol. 6,‎ 1906, p. 55-58 (lire en ligne)
↑ (en) Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, DC, The Mathematical Association of America, 1995 (ISBN 0-88385-639-5, présentation en ligne), chap. 7.4 (viii) (« The Pedal Circle »), p. 67-69.
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Isodynamic Points », sur MathWorld
↑ https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2015-02/article_1_bocanu.pdf
↑ (en) John Griffiths, Notes on the geometry of the plane triangle, 1867, 76 p.
↑ (en) R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Mineola, NY, Dover Publications, 1960, 246 p..
↑ Georges Fontené, « Extension du théorème de Feuerbach », Nouvelles annales de mathématiques, 4^e série, t. 5,‎ 1905, p. 504-506 (lire en ligne)
↑ V. Thébault, « Sur deux théorèmes de M. Fontené relatifs à l’orthopole », Nouvelles annales de mathématiques, 4^e série, t. 16,‎ 1916, p. 495-500 (lire en ligne)
↑ Timoléon Lemoyne, « Note de géométrie », Nouvelles Annales de Mathématiques, 4^e série,‎ 1904, p. 400-402 (lire en ligne).
↑ (en) David G. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Londres, Penguin Books, 1991, 158-159 p..
↑ (de) Eberhard M. Schröder, « Zwei 8-Kreise-Sätze für Vierecke », Mathematische Gesellschaft in Hamburg,‎ 2009, p. 105-117.
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Pedal Circle », sur MathWorld
↑ ^{a et b} (en) Michal Roĺınek et Le Anh Dung, « The Miquel Points, Pseudocircumcenter, and Euler-Poncelet Point of a Complete Quadrilateral », Forum Geometricorum, vol. 14,‎ 2014, p. 145–153 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Triangle cévien

Liens externes[modifier | modifier le code]

« Centre d'Euler d'un quadrilatère », sur abraCabri
Jean-Louis Aymé, « Le point d'Euler-Poncelet d'un quadrilatère » [archive] [PDF]
V. Thébault, « Sur deux théorèmes de M. Fontené relatifs à l'orthopole », Nouvelles annales de mathématiques, vol. 4, n^o 16,‎ 1916, p. 495-500 (lire en ligne)

(en) Eric W. Weisstein, « Pedal Circle », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Fontené Theorems », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Griffiths' Theorems », sur MathWorld

Portail de la géométrie

[:0-1] {a et b} G. Fontené, « Sur le cercle pédal », Nouvelles annales de mathématiques, 4^e série, vol. 6,‎ 1906, p. 55-58 (lire en ligne)

[2] (en) Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, DC, The Mathematical Association of America, 1995 (ISBN 0-88385-639-5, présentation en ligne), chap. 7.4 (viii) (« The Pedal Circle »), p. 67-69.

[3] (en) Eric W. Weisstein, « Isodynamic Points », sur MathWorld

[4] ttps://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2015-02/article_1_bocanu.pdf

[5] (en) John Griffiths, Notes on the geometry of the plane triangle, 1867, 76 p.

[6] (en) R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Mineola, NY, Dover Publications, 1960, 246 p..

[7] Georges Fontené, « Extension du théorème de Feuerbach », Nouvelles annales de mathématiques, 4^e série, t. 5,‎ 1905, p. 504-506 (lire en ligne)

[8] V. Thébault, « Sur deux théorèmes de M. Fontené relatifs à l’orthopole », Nouvelles annales de mathématiques, 4^e série, t. 16,‎ 1916, p. 495-500 (lire en ligne)

[9] Timoléon Lemoyne, « Note de géométrie », Nouvelles Annales de Mathématiques, 4^e série,‎ 1904, p. 400-402 (lire en ligne).

[10] (en) David G. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Londres, Penguin Books, 1991, 158-159 p..

[11] (de) Eberhard M. Schröder, « Zwei 8-Kreise-Sätze für Vierecke », Mathematische Gesellschaft in Hamburg,‎ 2009, p. 105-117.

[12] (en) Eric W. Weisstein, « Pedal Circle », sur MathWorld

[RolDung-13] {a et b} (en) Michal Roĺınek et Le Anh Dung, « The Miquel Points, Pseudocircumcenter, and Euler-Poncelet Point of a Complete Quadrilateral », Forum Geometricorum, vol. 14,‎ 2014, p. 145–153 (lire en ligne)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron