Théorème de Stewart

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Théorème de Stewart

En géométrie euclidienne, le théorème de Stewart est une généralisation du théorème de la médiane due au mathématicien Matthew Stewart dans les années 1746.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Soit p une cévienne d'un triangle ABC divisant en X le côté a en deux parties x et y. On a alors la relation suivante :

a\cdot (xy+p^{2}) = x\cdot b^{2}+y\cdot c^{2}

Démonstration[modifier | modifier le code]

D'après le théorème d'Al-Kashi nous avons :

\cos(\widehat{BXA})=\frac{x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2xp}
\cos(\widehat{CXA)}=\frac{y^{2}+p^{2}-b^{2}}{2yp}

Puisque \widehat{BXA} et \widehat{CXA} sont supplémentaires, alors la somme de leur cosinus est nulle, d'où après somme nous obtenons :

\cos(\widehat{BXA})+ \cos(\widehat{CXA)}=\frac{x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2xp}+\frac{y^{2}+p^{2}-b^{2}}{2yp}

\Leftrightarrow0=2yp\cdot(x^{2}+p^{2}-c^{2})+2xp\cdot(y^{2}+p^{2}-b^{2})

\Leftrightarrow2ypx^{2}+2yp^{3}+2xpy^{2}+2xp^{3}=2ypc^{2}+2xpb^{2}

\Leftrightarrow x^{2}y+yp^{2}+xy^{2}+xp^{2}=yc^{2}+xb^{2}

\Leftrightarrow a\cdot(xy+p^{2})=yc^{2}+xb^{2}