Théorème de Ménélaüs

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le théorème de Ménélaüs, dû à Ménélaüs d'Alexandrie, affirme que si D, E et F sont trois points des côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle ABC, alors D, E et F sont alignés si et seulement si ::$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1$

Une telle droite est appelée une ménélienne du triangle ABC.

Démonstration du théorème de Ménélaüs

Soit A' le point appartenant à la droite (FD) tel que (AA)' soit parallèle à (BD). D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles FBD et EDC, on a respectivement les égalités de rapports de mesures algébriques :

$\frac{\overline{DB}}{\overline{A'A}} = \frac{\overline{FB}}{\overline{FA}}\quad\text{et}\quad\frac{\overline{A'A}}{\overline{DC}} = \frac{\overline{EA}}{\overline{EC}}.$

On en déduit que

$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{A'A}}\times\frac{\overline{A'A}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{FB}}{\overline{FA}}\times\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}},$

ce qui équivaut à

$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1$

Réciproquement, soient DEF trois points appartenant respectivement aux côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle et tels que

$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} = 1$

Supposons d'abord que (EF) et (BC) soient parallèles. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC, on aurait

$\frac{\overline{EA}}{\overline{EC}} = \frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}$

Compte tenu de l'hypothèse, cela implique que ${\overline{DB}}/{\overline{DC}}=1$ soit $\overline{DB} = \overline{DC}$, donc on aurait B=C ce qui est impossible. On en déduit que (EF) et (BC) sont sécantes et on appelle X leur point d'intersection.

Comme démontré plus haut, on a

$\frac{\overline{XB}}{\overline{XC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} \times \frac{\overline{FB}}{\overline{FA}} = 1$

et d'après l'hypothèse, on a donc ${\overline{DB}}/{\overline{DC}}={\overline{XB}}/{\overline{XC}}$ ce qui implique X=D. Les points D, E et F sont donc alignés.

Voir aussi

• Théorème de Ceva
• Théorème de Carnot