Théorème de Ptolémée

Figure du théorème de Ptolémée.

Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne portant sur les diagonales d'un quadrilatère. L'implication directe est attribuée à l'astronome et mathématicien grec Ptolémée, dont il se servit pour ses calculs liés à l'astronomie.

Énoncé

Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

Avec les notations de la figure, ce théorème peut être traduit par :

Théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère convexe $ABCD$,

$ABCD$ est inscriptible $\iff AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\,$

Démonstration de l'implication directe

Par raisonnement géométrique

Soit $ABCD$ un quadrilatère inscriptible non croisé. Les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BDC}$ sont égaux, car ils interceptent le même arc (voir théorème de l'angle inscrit) ; de même $\widehat{ADB} = \widehat{ACB}$.

Construisons le point K tel que $K \in [AC]$ et $\widehat{ABK} = \widehat{DBC}$.

On a alors $\widehat{ABD} = \widehat{ABK}+\widehat{KBD} = \widehat{DBC}+\widehat{KBD} = \widehat{KBC}$.

Ainsi, les triangles $ABK$ et $DBC$ sont semblables (figure du milieu), de même que $ABD$ et $KBC$ (figure de droite).

On obtient les relations suivantes (voir triangle semblable) : $\frac{AK}{AB} = \frac{CD}{BD}$ et $\frac{CK}{BC} = \frac{DA}{BD}$

d'où $AK \cdot BD = AB \cdot CD$ et $CK \cdot BD = BC \cdot DA$

en additionnant il vient $(AK+CK) \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA$ et par construction $AK+CK = AC\,$.

On en déduit l'égalité du théorème : $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA$.

Démonstration de la réciproque

(1) Nous admettrons que l'antécédent d'une droite $d$ par l'inversion de pôle A et de rapport k non nul telle que A n'appartient pas à $d$ est un cercle passant par A, privé de A.

Soient A,B,C et D quatre points distincts tels que $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\,$

Considérons l'inversion de pôle A et de rapport 1, qui transforme B en B', C en C' et D en D'.

Il vient : $B'C' = \frac{BC}{AB \cdot AC}$, de même $C'D' = \frac{CD}{AC \cdot AD}$ et $B'D' = \frac{BD}{AB \cdot AD}$.

En divisant notre première égalité par $AB \cdot AC \cdot AD\,$, on obtient : $\frac{BD}{AB \cdot AD} = \frac{CD}{AC \cdot AD} + \frac{BC}{AB \cdot AC}$

Soit encore : $B'D' = C'D' + B'C'\,$

Ainsi les points B', C' et D' sont alignés. D'après (1) : B, C et D appartiennent à un cercle passant par A. Le quadrilatère $ABCD$ est donc inscriptible.

Lemme

Second théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère inscriptible non croisé $ABCD$, les longueurs des côtés et des diagonales vérifient la relation :

$\frac{AC}{BD}=\frac{AB \cdot DA + BC \cdot CD}{AB \cdot BC + CD \cdot DA}$

Voir aussi

Articles connexes

• Inégalité de Ptolémée
• Théorème de Casey
• Théorème de Pythagore

Lien externe

Une démonstration du théorème et de sa réciproque sur le site « Descartes et les Mathématiques »