Théorème de Ptolémée

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Figure du théorème de Ptolémée.

Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne est une relation algébrique entre les longueurs des côtés et des diagonales d'un quadrilatère, équivalente à l'inscription du quadrilatère dans un cercle. L'implication directe est attribuée à l'astronome et mathématicien grec Claude Ptolémée, dont il se servit pour ses calculs liés à l'astronomie.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

Avec les notations de la figure, ce théorème peut être traduit par :

Théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère convexe ABCD,

ABCD est inscriptible \iff AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\,

Démonstration de l'implication directe[modifier | modifier le code]

Par raisonnement géométrique[modifier | modifier le code]

Ptolemy's theorem.svg

Soit ABCD un quadrilatère inscriptible non croisé. Les angles \widehat{BAC} et \widehat{BDC} sont égaux, car ils interceptent le même arc (voir théorème de l'angle inscrit) ; de même \widehat{ADB} = \widehat{ACB}.

Construisons le point K tel que K \in [AC] et \widehat{ABK} = \widehat{DBC}.

On a alors \widehat{ABD} = \widehat{ABK}+\widehat{KBD} = \widehat{DBC}+\widehat{KBD} = \widehat{KBC}.

Ainsi, les triangles ABK et DBC sont semblables (figure du milieu), de même que ABD et KBC (figure de droite).

On obtient les relations suivantes (voir triangle semblable) : \frac{AK}{AB} = \frac{CD}{BD} et \frac{CK}{BC} = \frac{DA}{BD}

d'où AK \cdot BD = AB \cdot CD et CK \cdot BD = BC \cdot DA

en additionnant il vient (AK+CK) \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA et par construction AK+CK = AC\,.

On en déduit l'égalité du théorème : AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA.

Démonstration de la réciproque[modifier | modifier le code]

(1) Nous admettrons que l'antécédent d'une droite d par l'inversion de pôle A et de rapport k non nul telle que A n'appartient pas à d est un cercle passant par A, privé de A.

Soient A, B, C et D quatre points distincts tels que AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\,

Considérons l'inversion de pôle A et de rapport 1, qui transforme B en B', C en C' et D en D'.

Il vient : B'C' = \frac{BC}{AB \cdot AC}, de même C'D' = \frac{CD}{AC \cdot AD} et B'D' = \frac{BD}{AB \cdot AD}.

En divisant notre première égalité par AB \cdot AC \cdot AD\,, on obtient : \frac{BD}{AB \cdot AD} = \frac{CD}{AC \cdot AD} + \frac{BC}{AB \cdot AC}

Soit encore : B'D' = C'D' + B'C'\,

Ainsi les points B', C' et D' sont alignés. D'après (1) : B, C et D appartiennent à un cercle passant par A. Le quadrilatère ABCD est donc inscriptible.

Lemme[modifier | modifier le code]

Second théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère inscriptible non croisé ABCD, les longueurs des côtés et des diagonales vérifient la relation :

\frac{AC}{BD}=\frac{AB \cdot DA + BC \cdot CD}{AB \cdot BC + CD \cdot DA}

En effet, l'aire d'un triangle ABC inscrit dans un cercle de rayon R étant donnée par \mathcal {A} = \frac{AB \cdot BC \cdot CA}{4R}

En écrivant l'aire totale du quadrilatère comme somme des 2 triangles ayant même cercle circonscrit, on obtient selon la diagonale choisie :

 \mathcal {A}_{tot} = \frac{AB \cdot BC \cdot CA }{4R} + \frac {CD \cdot DA \cdot AC}{4R} = \frac {AC \cdot (AB \cdot BC + CD \cdot DA)}{4R}

\mathcal {A}_{tot} = \frac{AB \cdot BD \cdot DA}{4R} + \frac {BC \cdot CD \cdot DB}{4R} = \frac {BD \cdot (AB \cdot DA + BC \cdot CD)}{4R}

En égalant, le produit en croix donne bien la relation annoncée.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Une démonstration du théorème et de sa réciproque sur le site « Descartes et les Mathématiques »