Points de Brocard

En géométrie, le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point $\Omega$ tels que les angles $\widehat{\Omega AB}$ , $\widehat{\Omega BC}$ et $\widehat{\Omega CA}$ orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point $\Omega '$ tels que les angles $\widehat{\Omega'BA}$ , $\widehat{\Omega'CB}$ et $\widehat{\Omega'AC}$ orientés positivement soient égaux.

L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva.

Tous les angles $\widehat{\Omega AB}$ , $\widehat{\Omega BC}$ , $\widehat{\Omega CA}$ ,$\widehat{\Omega' BA}$ , $\widehat{\Omega'CB}$ et $\widehat{\Omega'AC}$ sont égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté $\omega$ et qui peut être calculé à partir de la formule :

$\tan \omega = \frac{4 S}{a^2+b^2+c^2}$

où S désigne l'aire du triangle, alors que a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle.

Enfin, on appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard.

Les coordonnées barycentriques du premier point de Brocard sont $\left(\frac{ac}{b}:\frac{ba}{c}:\frac{cb}{a}\right)$ et celles du second point de Brocard sont $\left(\frac{ab}{c}:\frac{bc}{a}:\frac{ca}{b}\right)$.

Propriétés remarquables

• Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre.
• La médiane issue d'un sommet du triangle, la symédiane issue d'un second sommet et une des droites de Brocard issue d'un troisième sommet sont concourantes.

Articles connexes

• Figures de Brocard
• Cercle de Brocard
• Théorème d'Alasia