Problème de Fagnano

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Le problème de Fagnano, encore appelé problème du triangle de Schwarz, est un célèbre problème de géométrie euclidienne énoncé par le mathématicien italien Giulio Fagnano (it) (1682-1766) : Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle donné ?

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Soit \Delta ABC un triangle acutangle donné. Il existe un unique \Delta MNP de périmètre minimal, inscrit dans \Delta ABC. Ce triangle a pour sommets les pieds des hauteurs issues de \Delta ABC. Le triangle MNP est appelé le triangle orthique.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit ABC le triangle donné. Nous voulons trouver les points M, N et P sur les côtés [BC], [AC] et [AB] respectivement, de sorte que le périmètre de \Delta MNP soit minimal.

Premièrement, nous considérons une version plus simple du problème. Fixons un point P arbitraire sur (AB). Nous allons maintenant trouver les points M et N sur (BC) et (AC) respectivement, de sorte que \Delta MNP soit de périmètre minimal (bien entendu, le minimum dépendra du choix de P). Soit P_1 l'image de P par la réflexion d'axe (BC) et P_2 d'axe (AC). Alors CP_1=CP=CP_2, \scriptstyle\widehat{P_1CB}=\widehat{PCB} et \scriptstyle\widehat{P_2CA}=\widehat{PCA}. En posant \scriptstyle\gamma=\widehat{BCA}, nous avons alors \scriptstyle\widehat{P_1CP_2}=2\gamma. De plus, 2\gamma<180, puisque \gamma<90 par définition. Par conséquent, (P_1P_2) coupe les côtés [BC] et [AC] de \Delta ABC aux points M et N respectivement et le périmètre de \Delta MNP est égal à P_1P_2. D'une manière analogue, si Z est un point quelconque sur [BC] et Y un point quelconque sur [AC], le périmètre de \Delta ZPY est égal à la longueur de la ligne brisée P_1ZYP_2, qui est plus grande ou égale à P_1P_2. Ainsi, le périmètre de \Delta PZY est plus grand ou égal au périmètre de \Delta PMN et l'égalité a lieu précisément lorsque Z=M et Y=N.

Ainsi, nous devons trouver un point P de [AB] de sorte que [P_1P_2] soit de longueur minimal. Remarquons que ce segment est la base d'un triangle isocèle P_2P_1C avec comme angle constant 2\gamma au point C et comme côtés CP_1=CP_2=CP. Ainsi, nous devons choisir P sur [AB] de sorte que CP_1=CP soit minimal. Il est évident que ce minimum est obtenu lorsque P est le pied de la hauteur issue de C.

Exo2.png

Remarquons maintenant que si P est le pied de la hauteur issue de C, alors M et N sont les pieds des deux autres hauteurs de \Delta ABC. Pour prouver cette assertion, notons M_1 et N_1 les pieds des hauteurs de \Delta ABC passant par A et B respectivement. Alors

\widehat{BM_1P_1}=\widehat{BM_1P}=\widehat{BAC}=\widehat{CM_1N_1},

ce qui montre que le point P_1 appartient à la droite (M_1N_1). D'une manière analogue, P_2 appartient à la droite (M_1N_1) et donc M=M_1 et N=N_1.

Exo2 2.png

En conclusion, de tous les triangles inscrits à \Delta ABC, celui ayant ses sommets confondus avec les pieds des hauteurs issues de \Delta ABC a son périmètre qui est minimal.

Cas du triangle obtusangle[modifier | modifier le code]

Lorsque \Delta ABC est obtusangle, le triangle MNP est tel que M = N = C et P le pied de la hauteur issue de C. Dans ce cas, on dit que \Delta MNP est dégénéré.