Triangles semblables

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Triangles semblables.

En géométrie euclidienne, on dit que deux triangles sont semblables s'ils ont même forme, mais pas nécessairement même taille[1],[2].

Parmi les multiples formalisations de cette définition intuitive, les deux plus courantes sont : Deux triangles sont semblables :

  • si leurs côtés sont proportionnels[1] ou, ce qui est équivalent[3],
  • s'ils ont mêmes angles[4].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Chacune des caractérisations ci-dessous peut servir de définition à la notion de triangles semblables, car toutes sont équivalentes[1],[5].

1. Deux triangles sont semblables si leurs côtés sont proportionnels. Plus formellement : les triangles ABC et A'B'C' sont semblables si

\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}.

2. Deux triangles sont semblables si deux angles géométriques (i.e. non orientés) de l'un sont égaux à deux angles géométriques de l'autre. Plus formellement : ABC et A'B'C' sont semblables si

\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}\quad\text{et}\quad\widehat{BCA}=\widehat{B'C'A'}
(ce qui entraîne \scriptstyle{\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}}).

3. Deux triangles sont semblables si deux côtés de l'un sont proportionnels à deux côtés de l'autre et si les angles entre ces deux côtés sont égaux.

4. Deux triangles sont semblables si deux côtés de l'un sont proportionnels à deux côtés de l'autre et si les angles opposés aux plus grands des deux côtés proportionnels sont égaux :

\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\quad\text{et}\quad\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}

5. Deux triangles sont semblables s'il existe une similitude[6] transformant l'un en l'autre[7].

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • Si les triangles ont des côtés de même longueur on dit qu'ils sont isométriques.
  • Si deux triangles ont leur côtés homologues parallèles alors ils sont semblables et sont appelés triangles homothétiques. Lorsque des triangles sont homothétiques et possèdent un sommet en commun, on retrouve une configuration de Thalès.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c A. J. H. Vincent, Géométrie élémentaire, Maillet-Bachelier,‎ 1856, p. 65 à 67 donne cette définition intuitive, choisit la première caractérisation comme définition formelle, et démontre l'équivalence avec les deux suivantes.
  2. COJEREM, Géométrie en situations 1re/4e, De Boeck Education,‎ 1995 (ISBN 9782804122300), p. 58
  3. J. Delbœuf, Prolégomènes philosophiques de la géometrie et solution des postulats, J. Desoer,‎ 1860, p. 95 s'insurge contre le fait que certains remplacent ce « ou » par un « et » , ce qui rend la définition redondante. C'est le cas par exemple dans l'ouvrage de COJEREM précédemment cité.
  4. A. Merlette, L'encyclopédie des écoles, journal de l'enseignement primaire et professionnel,‎ 1863, p. 456
  5. Dany-Jack Mercier, Fondamentaux de géométrie pour les concours, Publibook,‎ 2009 (ISBN 9782748349658), p. 172 à 176 choisit la quatrième caractérisation comme définition et démontre l'équivalence avec les précédentes.
  6. Une similitude est une composée de transformations simples : homothétie, translation, rotation, symétrie orthogonale.
  7. Dans le plan, lorsque deux triangles sont semblables, il existe même une unique similitude plane qui transforme l'un en l'autre.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Géométrie non euclidienne