Polynôme de Legendre

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Polynômes de Legendre

Les polynômes de Legendre sont des solutions de l'équation différentielle de Legendre, et constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux.

Équation de Legendre[modifier | modifier le code]

On appelle équation de Legendre l'équation : \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left((1-x^{2})\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)+n(n+1)y=0

On définit ainsi le polynôme de Legendre P_n (pour tout entier naturel n) :

\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left((1-x^{2})\frac{\textrm{d}P_n(x)}{\textrm{d}x}\right)+n(n+1)P_n(x)=0,\qquad P_n(1)=1.

On a donc P_n=P_n^{(0,0)}, où P_n^{(\alpha,\beta)} désigne le polynôme de Jacobi d'indice n associé aux paramètres α et β.

Cette équation est naturellement liée à l'équation de Laplace  \Delta \psi \ = \ 0 lorsque dans celle-ci, écrite en coordonnées sphériques, l'on cherche une solution sous la forme d'un produit de deux fonctions A et B, la première ne dépendant que de ρ et la seconde ne dépendant que de θ. Dans l'équation vérifiée par B ainsi obtenue, si l'on pose x=cos(θ) et y(x)=B(θ), y est une fonction de x solution de l'équation de Legendre[1].

Autres définitions[modifier | modifier le code]

Formule de récurrence de Bonnet[modifier | modifier le code]

P_0(x)=1,\ P_1(x)=x, et pour tout entier n>0

(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x).\,

Formule de Rodrigues[modifier | modifier le code]

On définit le polynôme P_n (pour tout entier naturel n) par :

P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{\textrm{d}^n}{\textrm{d}x^n}\left((x^2-1)^n\right)

Définition analytique[modifier | modifier le code]

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa fonction génératrice :

\frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n.

Le calcul des coefficients de la série de Laurent donne alors :

P_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint(1-2xz+z^2)^{-1/2}z^{-n-1}\textrm{d}z

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Définitions sous forme de somme[modifier | modifier le code]

On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n}x^{n-2k}

(on en déduit P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n}  \,)

P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^{k}

Quelques polynômes[modifier | modifier le code]

Les premiers polynômes sont :

Les 20 premiers polynômes de Legendre
  • P_{0}(x)=1 \,
  • P_{1}(x)=x\,
  • P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,
  • P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,
  • P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,
  • P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,
  • P_{6}(x)=\frac{1}{16}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,
  • P_{7}(x)=\frac{1}{16}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,
  • P_{8}(x)=\frac{1}{128}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,
  • P_{9}(x)=\frac{1}{128}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,
  • P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,

Propriétés[modifier | modifier le code]

Degré[modifier | modifier le code]

Le polynôme P_n est de degré n.

Base[modifier | modifier le code]

La famille (P_n)_{n\leq N} étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une base de l'espace vectoriel \R_N[X].

Parité[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Legendre suivent la parité de n. On peut exprimer cette propriété par :

P_n(-x)=(-1)^nP_n(x).\,

(en particulier, P_n(-1)=(-1)^n et P_{2n+1}(0)=0).

Orthogonalité[modifier | modifier le code]

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1 : ces polynômes sont orthogonaux par rapport au produit scalaire \langle \cdot,\cdot \rangle défini sur \R[X] par la relation :

\langle P,Q\rangle= \int_{-1}^{+1} P(x) Q(x)\, \mathrm{d}x
\langle P_m,P_n\rangle= \int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)\,\mathrm{d}x = 0\qquad \mathrm{pour}\qquad m \ne n

De plus, comme (P_n)_{n\leq N} est une base de \R_N[X], on a P_{N+1} \in (\R_N[X])^\bot, c'est-à-dire :

\forall Q \in \R_N[X], \int_{-1}^{1} P_{N+1}(x)Q(x)\,\mathrm{d}x = 0

Norme[modifier | modifier le code]

Le carré de la norme, dans L2([-1,1]), est

\|P_n\|^2=\frac{2}{2n+1}.

En effet, pour tout n>1, on peut établir la relation

P'_{n+1}-P'_{n-1}=(2n+1)P_n, \,

dont on déduit (en utilisant que pour tout k, P'_{k-1} est de degré k-2<k donc est orthogonal à P_k, et en effectuant une intégration par parties) :

\langle P_n,(2n+1)P_n\rangle=\langle P_n,P'_{n+1}-P'_{n-1}\rangle=\langle P_n,P'_{n+1}\rangle =[P_nP_{n+1}]_{-1}^{\ 1}-\langle P'_n,P_{n+1}\rangle=[P_nP_{n+1}]_{-1}^{\ 1}.

Comme P_nP_{n+1} est impair et pour tout k, P_k(1)=1, on aboutit ainsi à (2n+1)\|P_n\|^2=2.

Théorème d'addition[modifier | modifier le code]

Si 0\le \psi_1 < \pi, 0\le \psi_2 < \pi, \psi_1 + \psi_2 < \pi et \phi un réel quelconque, alors

P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi,

ce qui est équivalent à

P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(k-m+1)}{\Gamma(k+m+1)} P_k^m(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi.

On a aussi

Q_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)Q_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)Q_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi

sous l'hypothèse que 0\le \psi_1 < \pi/2, 0\le \psi_2 < \pi, \psi_1 + \psi_2 < \pi, \phi

Décomposition en série de polynômes de Legendre[modifier | modifier le code]

Décomposition d'une fonction holomorphe[modifier | modifier le code]

Toute fonction f, holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformement à l'intérieur de l'ellipse:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n P_n(z)

avec \forall n \in \mathbb{N}, \lambda_n \in \mathbb{C}.

Décomposition d'une fonction lipschitzienne[modifier | modifier le code]

On note \tilde{P_n} le quotient du polynôme P_n par sa norme.

Soit f une application continue sur [-1,1]. Pour tout entier naturel n on pose

c_n(f)=\int_{-1}^1 f(x)\tilde P_n(x)\,dx,

Alors la suite c_n(f)\, est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de f sur \R_n[X] :

S_nf=\sum_{k=0}^n c_k(f)\tilde P_k.

On a de plus :

  1. \forall x\in[-1,1],\;S_nf(x)=\int_{-1}^1 K_n(x,\;y)f(y)\,dy, avec K_n(x,\;y)=\frac{n+1}{2}\frac{\tilde P_{n+1}(x)\tilde P_n(y)-\tilde P_{n+1}(y)\tilde P_n(x)}{x-y} ;
  2. S_nf(x)-f(x)=\int_{-1}^1 K_n(x,\;y)(f(y)-f(x))\,dy.

Supposons de plus que f est une fonction lipschitzienne. On a alors la propriété supplémentaire :[réf. souhaitée]

\forall x\in]-1,1[,\;\lim_{n\to\infty}S_nf(x)=f(x).

autrement dit, l'égalité

f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\tilde P_n

est vraie non seulement au sens L2 mais au sens de la convergence simple sur ]-1,1[.

Intégration numérique d'une fonction[modifier | modifier le code]

Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle [-1, 1], l'une des méthodes les plus populaires est la méthode de quadrature de Gauss-Legendre fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :

\int_{-1}^1 f(x) \, \mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)

avec :

  •  (x_i)_{i \leq n} l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre P_n
  •  (\omega_i)_{i \leq n} les poids respectifs :  w_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)}

En particulier, la formule[2] à l'ordre n est exacte pour toute fonction polynomiale de degré 2n-1.

Applications en physique[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Legendre, tout comme ceux d'Hermite ou de Laguerre, apparaissent dans diverses branches de la physique ou du calcul numérique car ils permettent le calcul d'intégrales définies sans qu'il soit nécessaire de les évaluer analytiquement, à condition toutefois que par un changement de variable adéquat, on se place dans l'intervalle d'intégration [−1, 1].

Les polynômes de Legendre permettent de développer en série les fonctions du type (cette formule se déduit directement de la fonction génératrice) :


\frac{1}{\left| \mathbf{\vec{r}}-\mathbf{\vec{r}}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma)
, \text{  avec } r>r'

r et r' sont les normes des vecteurs \mathbf{\vec{r}} et \mathbf{\vec{r}}^\prime, respectivement, et \gamma est l'angle entre ceux-ci. Un tel développement est utilisé par exemple dans l'étude du dipôle électrique ou de façon plus générale dans l'expression du champ électrique ou gravitationnel à grande distance d'une distribution continue de charge ou de masse (développement multipolaire).

Les polynômes de Legendre apparaissent également dans la résolution de l'équation de Laplace \nabla^2 V(\mathbf{\vec{r}})=0 pour le potentiel électrique V dans une région vide de charges, en coordonnées sphériques, dans le cas d'un problème présentant une symétrie axiale (V est alors indépendant de ϕ), procédant par la méthode de séparation des variables. La solution de l'équation de Laplace se met alors sous la forme :


\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Murray R. Spiegel (en), Analyse de Fourier et application aux problèmes de valeurs aux limites : 205 exercices résolus, Série Schaum,‎ , 200 p. (ISBN 978-2-7042-1019-0), chap. 7 (« Les fonctions de Legendre et leurs applications »), p. 138-142.
  2. On trouvera une table pour les cinq premières formules dans (en) Eric W. Weisstein, « Legendre-Gauss quadrature », MathWorld

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]