Polynôme de Legendre

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Polynômes de Legendre

Les polynômes de Legendre sont des solutions de l'équation différentielle de Legendre, et constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux.

Équation de Legendre[modifier | modifier le code]

On appelle équation de Legendre l'équation : \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}]+n(n+1)y=0

On définit ainsi le polynôme de Legendre P_n (pour tout entier naturel n) :

\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P_n(x)}{\textrm{d}x}]+n(n+1)P_n(x)=0,\qquad P_n(1)=1.

On a donc P_n=P_n^{(0,0)}, où P_n^{(\alpha,\beta)} désigne le polynôme de Jacobi d'indice n associé aux paramètres α et β.

Cette équation est naturellement liée à l'équation de Laplace  \Delta \psi \ = \ 0 lorsque dans celle-ci, écrite en coordonnées sphériques, l'on cherche une solution sous la forme d'un produit de deux fonctions A et B, la première ne dépendant que de ρ et la seconde ne dépendant que de θ. Dans l'équation vérifiée par B ainsi obtenue, si l'on pose x=cos(θ) et y(x)=B(θ), y est une fonction de x solution de l'équation de Legendre[1].

Autres définitions[modifier | modifier le code]

Formule de récurrence de Bonnet[modifier | modifier le code]

P_0(x)=1,\ P_1(x)=x, et pour tout entier n>0

(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x).\,

Formule de Rodrigues[modifier | modifier le code]

On définit le polynôme P_n (pour tout entier naturel n) par :

P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{\textrm{d}^n}{\textrm{d}x^n}\left((x^2-1)^n\right)

Définition analytique[modifier | modifier le code]

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa fonction génératrice :

\frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n.

Le calcul des coefficients de la série de Laurent donne alors :

P_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint(1-2xz+z^2)^{-1/2}z^{-n-1}\textrm{d}z

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Définitions sous forme de somme[modifier | modifier le code]

On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n}x^{n-2k}

(on en déduit P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n}  \,)

P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^{k}

Quelques polynômes[modifier | modifier le code]

Les premiers polynômes sont :

Les 20 premiers polynômes de Legendre
  • P_{0}(x)=1 \,
  • P_{1}(x)=x\,
  • P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,
  • P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,
  • P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,
  • P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,
  • P_{6}(x)=\frac{1}{16}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,
  • P_{7}(x)=\frac{1}{16}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,
  • P_{8}(x)=\frac{1}{128}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,
  • P_{9}(x)=\frac{1}{128}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,
  • P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,

Propriétés[modifier | modifier le code]

Degré[modifier | modifier le code]

Le polynôme P_n est de degré n.

Base[modifier | modifier le code]

La famille (P_n)_{n\leq N} étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une base de l'espace vectoriel \R_N[X].

Parité[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Legendre suivent la parité de n. On peut exprimer cette propriété par :

P_n(-x)=(-1)^nP_n(x).\,

(en particulier, P_n(-1)=(-1)^n et P_{2n+1}(0)=0).

Orthogonalité[modifier | modifier le code]

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1 : ces polynômes sont orthogonaux par rapport au produit scalaire \langle \cdot,\cdot \rangle défini sur \R[X] par la relation :

\langle P,Q\rangle= \int_{-1}^{+1} P(x) Q(x)\, \mathrm{d}x
\langle P_m,P_n\rangle= \int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)\,\mathrm{d}x = 0\qquad \mathrm{pour}\qquad m \ne n

De plus, comme (P_n)_{n\leq N} est une base de \R_N[X], on a P_{N+1} \in (\R_N[X])^\bot, c'est-à-dire :

\forall Q \in \R_N[X], \int_{-1}^{1} P_{N+1}(x)Q(x)\,\mathrm{d}x = 0

Norme[modifier | modifier le code]

Le carré de la norme, dans L2([-1,1]), est

\|P_n\|^2=\frac{2}{2n+1}.

En effet, pour tout n>1, on peut établir la relation

P'_{n+1}-P'_{n-1}=(2n+1)P_n, \,

dont on déduit (en utilisant que pour tout k, P'_{k-1} est de degré k-2<k donc est orthogonal à P_k, et en effectuant une intégration par parties) :

\langle P_n,(2n+1)P_n\rangle=\langle P_n,P'_{n+1}-P'_{n-1}\rangle=\langle P_n,P'_{n+1}\rangle =[P_nP_{n+1}]_{-1}^{\ 1}-\langle P'_n,P_{n+1}\rangle=[P_nP_{n+1}]_{-1}^{\ 1}.

Comme P_nP_{n+1} est impair et pour tout k, P_k(1)=1, on aboutit ainsi à (2n+1)\|P_n\|^2=2.

Théorème d'addition[modifier | modifier le code]

Si 0\le \psi_1 < \pi, 0\le \psi_2 < \pi, \psi_1 + \psi_2 < \pi et \phi un réel quelconque, alors

P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi,

ce qui est équivalent à

P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(k-m+1)}{\Gamma(k+m+1)} P_k^m(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi.

On a aussi

Q_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)Q_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)Q_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi

sous l'hypothèse que 0\le \psi_1 < \pi/2, 0\le \psi_2 < \pi, \psi_1 + \psi_2 < \pi, \phi

Décomposition en série de polynômes de Legendre[modifier | modifier le code]

Décomposition d'une fonction holomorphe[modifier | modifier le code]

Toute fonction f, holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformement à l'intérieur de l'ellipse:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n P_n(z)

avec \forall n \in \mathbb{N}, \lambda_n \in \mathbb{C}.

Décomposition d'une fonction lipschitzienne[modifier | modifier le code]

On note \tilde{P_n} le quotient du polynôme P_n par sa norme.

Soit f une application continue sur [-1,1]. Pour tout entier naturel n on pose

c_n(f)=\int_{-1}^1 f(x)\tilde P_n(x)\,dx,

Alors la suite c_n(f)\, est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de f sur \R_n[X] :

S_nf=\sum_{k=0}^n c_k(f)\tilde P_k.

On a de plus :

  1. \forall x\in[-1,1],\;S_nf(x)=\int_{-1}^1 K_n(x,\;y)f(y)\,dy, avec K_n(x,\;y)=\frac{n+1}{2}\frac{\tilde P_{n+1}(x)\tilde P_n(y)-\tilde P_{n+1}(y)\tilde P_n(x)}{x-y} ;
  2. S_nf(x)-f(x)=\int_{-1}^1 K_n(x,\;y)(f(y)-f(x))\,dy.

Supposons de plus que f est une fonction lipschitzienne. On a alors la propriété supplémentaire :[réf. souhaitée]

\forall x\in]-1,1[,\;\lim_{n\to\infty}S_nf(x)=f(x).

autrement dit, l'égalité

f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\tilde P_n

est vraie non seulement au sens L2 mais au sens de la convergence simple sur ]-1,1[.

Intégration numérique d'une fonction[modifier | modifier le code]

Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle [-1, 1], l'une des méthodes les plus populaires est la méthode de quadrature de Gauss-Legendre fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :

\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)

avec :

  •  (x_i)_{i \leq n} l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre P_n
  •  (\omega_i)_{i \leq n} les poids respectifs :  w_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)}

En particulier, la formule[2] à l'ordre n est exacte pour toute fonction polynomiale de degré 2n-1.

Note et références[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. Murray R. Spiegel, Analyse de Fourier et application aux problèmes de valeurs aux limites : 205 exercices résolus, Série Schaum,‎ 1987, 200 p. (ISBN 2-7042-1019-5), chap. 7 (« Les fonctions de Legendre et leurs applications »), p. 138-142
  2. On trouvera une table pour les cinq premières formules dans (en) Eric W. Weisstein, « Legendre-Gauss quadrature », MathWorld

Références[modifier | modifier le code]

  • J. Kampe de Feriet, Fonctions de la physique mathématique, CNRS, 1957
  • [PDF] Sujet de CAPES 1989

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]