Mécanique quantique dans l'espace des phases

La formulation de la mécanique quantique dans l'espace des phases place les variables de position et d' impulsion sur un pied d'égalité dans l'espace des phases . En revanche, l'image de Schrödinger utilise les représentations de position ou d' impulsion (voir aussi espace de position et d'impulsion ). Les deux principales caractéristiques de la formulation de l'espace des phases sont que l'état quantique est décrit par une distribution de quasi-probabilité (au lieu d'une fonction d'onde, d'un vecteur d'état ou d' une matrice de densité ) et que la multiplication des opérateurs est redéfinie.

La théorie a été entièrement développée par Hilbrand Groenewold en 1946 dans sa thèse de doctorat ,et indépendamment par Joe Moyal, chacun s'appuyant sur des idées antérieures d' Hermann Weyl et d' Eugene Wigner.

Le principal avantage de la formulation dans l'espace des phases est qu'elle fait apparaître la mécanique quantique aussi proche que possible de la mécanique hamiltonienne en évitant le formalisme des opérateurs dans l'espace de Hilbert ". Cette formulation est de nature statistique et offre des connexions logiques entre la mécanique quantique et la mécanique statistique classique, permettant une comparaison naturelle entre les deux (voir limite classique ). La mécanique quantique dans l'espace des phases est souvent choisie dans certaines applications de l'optique quantique (voir espace de phase optique ), ou dans l'étude de la décohérence et d'une gamme de problèmes techniques spécialisés; cependant ce formalisme est moins couramment utilisé dans des situations pratiques, que celui de Schrödinger par exemple .

Les idées conceptuelles sous-jacentes au développement de la mécanique quantique dans l'espace des phases se sont ramifiées dans des développements mathématiques tels que la déformation-quantification de Kontsevich (voir la formule de quantification de Kontsevich) et la géométrie non commutative.

Distribution dans l'espace des phases

La distribution dans l'espace des phases f(x, p) d'un état quantique est une distribution de quasi-probabilité («quasi» car elle ne possède pas toutes les propriétés des distributions classiques de probabilités). Dans la formulation de l'espace de phase, la distribution de l'espace de phase peut être traitée comme la description fondamentale et primitive du système quantique, sans aucune référence aux fonctions d'onde ou aux matrices de densité.

Il existe plusieurs façons différentes de représenter la distribution, toutes interdépendantes . La plus remarquable est la distribution de Wigner, W(x, p), découverte en premier. D'autres représentations (dans l'ordre approximativement décroissant de prévalence dans la littérature) incluent les représentations Glauber–Sudarshan P , Husimi Q, Kirkwood–Rihaczek, Mehta, Rivier et Born–Jordan . Ces alternatives sont plus utiles lorsque l'hamiltonien prend une forme particulière, comme l'ordre normal pour la représentation-P de Glauber-Sudarshan. Étant donné que la représentation de Wigner est la plus courante, cet article s'y tiendra généralement, sauf indication contraire.

La distribution de l'espace des phases possède des propriétés proches de la densité de probabilité dans un espace des phases à 2 n dimensions. Par exemple, elle est à valeur réelle, mais pas nécessairement positive, contrairement à la fonction d'onde généralement à valeur complexe. Nous pouvons interpréter la probabilité de se situer dans un intervalle de position, par exemple, en intégrant la fonction de Wigner sur tous les moments et sur l'intervalle de position :

$\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx.$

Si Â(x, p) est un opérateur représentant une observable, il peut être projeté dans l'espace des phases comme A(x, p) via la transformée de Wigner. A l'inverse, l'opérateur Â(x, p) peut être retrouvé à partir par la transformée de Weyl.

La valeur moyenne de l'observable par rapport à la distribution de l'espace des phases est

$\langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.$

NB : malgré la similitude en apparence, W(x, p) n'est pas une véritable distribution de probabilité conjointe, car ses différentes régions ne représentent pas des états mutuellement exclusifs, comme l'exige le troisième axiome de la théorie des probabilités. De plus, il peut, en général, prendre des valeurs négatives même pour des états purs, à l'unique exception des états cohérents (éventuellement comprimés ), en violation du premier axiome .

On peut prouver que les régions d'une telle valeur négative sont "petites" : elles ne peuvent pas s'étendre à des régions compactes de volume supérieur à quelques ħ, et disparaissent donc dans la limite classique. Elles sont masquées par le principe d'incertitude, qui ne permet pas une localisation précise dans les régions d'espace de phase inférieures à ħ, et rend ainsi de telles "probabilités négatives" moins paradoxales. Si le côté gauche de l'équation peut être interprété comme une espérance mathématique dans l'espace de Hilbert par rapport à un opérateur, alors dans le contexte de l'optique quantique, cette équation est connue sous le nom de théorème d'équivalence optique.

Une approche alternative de l'espace des phases pour la mécanique quantique cherche à définir une fonction d'onde (pas seulement une densité de quasi-probabilité) sur l'espace des phases, généralement au moyen de la transformée de Segal-Bargmann. Pour être compatible avec le principe d'incertitude, la fonction d'onde de l'espace des phases ne peut pas être une fonction arbitraire, sinon elle pourrait être localisée dans une région arbitrairement petite de l'espace des phases. Au contraire, la transformée de Segal-Bargmann est une fonction holomorphe de $x+ip$. Il existe une densité de quasi-probabilité associée à la fonction d'onde dans l'espace des phases ; c'est la représentation Husimi Q de la fonction d'onde de position.

Produit-étoile (-★) d'opérateurs

L'opérateur binaire non commutatif fondamental dans la formulation de l'espace des phases qui remplace l'opérateur standard de multiplication est le produit-étoile, représenté par le symbole ★ . Chaque représentation de la distribution de l'espace des phases a un produit-étoile caractéristique différent. Pour être concret, nous limitons cette discussion au produit-étoile pertinent pour la représentation de Wigner-Weyl.

Pour des raisons de commodité de notation, nous introduisons la notion de dérivée « gauche » et de dérivée «droite ». Pour une paire de fonctions f et g, les dérivées gauche et droite sont définies comme

${\begin{aligned}f{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}g&={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g,\\f{\vec {\partial }}_{x}g&=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.\end{aligned}}$

La définition différentielle du produit-étoile est

$f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x}\right)\right)}g,$

où l'argument de la fonction exponentielle peut être interprété comme une série de puissance. Des relations différentielles supplémentaires permettent d'écrire cela en termes de variation des arguments de f et g :

${\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}$

Il est également possible de définir le produit-★ sous une forme intégrale de convolution,essentiellement par la transformée de Fourier :

$(f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''.$

(Ainsi, par exemple , la composition des gaussiennes devient :

$\exp {\big (}{-a}(x^{2}+p^{2}){\big )}\star \exp {\big (}{-b}(x^{2}+p^{2}){\big )}={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left(-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}(x^{2}+p^{2})\right),$

ou pour les distributions de Dirac

$\delta (x)\star \delta (p)={\frac {2}{h}}\exp \left(2i{\frac {xp}{\hbar }}\right),$

etc. )

Les distributions d' états propres d'énergie sont appelées états propres-★ ou fonctions propres-★ Celles-ci sont résolues, de manière analogue à l'équation de Schrödinger, indépendante du temps, par l'équation aux valeurs propres-★

$H\star W=E\cdot W,$

où H est l'hamiltonien, une simple fonction de l'espace des phases, le plus souvent identique à l'hamiltonien classique.

Évolution temporelle

L' évolution temporelle de la distribution spatiale des phases est donnée par une modification quantique du théorème de Liouville (flot hamiltonien). Cette formule résulte de l'application de la transformation de Wigner à la version de l' équation quantique de Liouvilleappliquée à la matrice densité, l'équation de von Neumann.

Dans toute représentation de la distribution spatiale des phases avec son produit-étoile associé, l'évolution temporelle de la distribution spatiale des phases est donnée par

${\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),$

ou, pour la fonction de Wigner en particulier,

${\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({\frac {\hbar }{2}}({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x})\right)H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),$

où {{ , }} est le crochet de Moyal : transformée de Wigner du commutateur quantique, tandis que { , } est le crochet de Poisson classique.

Ceci donne une illustration concise du principe de correspondance : cette équation se réduit manifestement à l'équation classique de Liouville à la limite ħ → 0. Dans l'extension quantique du flot hamiltonien, la densité de points dans l'espace des phases n'est cependant pas conservée ; le fluide de probabilité apparaît "diffusif" et compressible. La notion de trajectoire quantique est donc une question ouverte . Voir le film pour le potentiel Morse, ci-dessous, pour apprécier la non-localité du flux de phase quantique.

NB Compte tenu des restrictions imposées par le principe d'incertitude sur la localisation, Niels Bohr a vigoureusement nié l'existence physique de telles trajectoires à l'échelle microscopique. Au moyen de trajectoires formelles dans l'espace des phases, le problème d'évolution temporelle de la fonction de Wigner peut être rigoureusement résolu en utilisant la méthode de l'intégrale de chemin et la méthode des caractéristiques quantiques, bien qu'il existe de sérieux obstacles pratiques dans les deux cas.

Exemples

Oscillateur harmonique simple

La distribution de quasi-probabilité de Wigner F_n(u) pour l'oscillateur harmonique simple avec a) n = 0, b) n = 1, c) n = 5

Le hamiltonien pour l'oscillateur harmonique simple à une dimension dans la représentation de Wigner – Weyl est

$H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.$

L'équation aux valeurs propres-★ pour la fonction i de Wigner indépendante du temps, se lit alors

${\begin{aligned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)^{2}\right)W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{x}^{2}\right)\right)W\\&\quad {}+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)W\\&=E\cdot W.\end{aligned}}$

Considérons d'abord la partie imaginaire de l'équation aux valeurs propres-★,

${\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot W=0$

Cela implique que l'on peut écrire les valeurs propres-★ comme des fonctions d'un seul argument :

$W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).$

Avec ce changement de variables, il est possible d'écrire la partie réelle de l'équation aux valeurs propres-★ sous la forme d'une équation de Laguerre modifiée (et non pas l'équation d'Hermite !), dont la solution fait intervenir les polynômes de Laguerre comme

$F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega },$

introduit par Groenewold, avec les valeurs propres-★ associées

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).$

Pour l'oscillateur harmonique, l'évolution temporelle d'une distribution de Wigner arbitraire est simple. Une distribution initiale W(x, p; t = 0) = F(u) évolue selon l'équation d'évolution ci-dessus, pilotée par le hamiltonien de l'oscillateur, soit une simple rotation globale dans l'espace des phases,

$W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0).$

Typiquement, une "forme en cloche" (ou état cohérent) d'énergie E ≫ ħω peut représenter une quantité macroscopique et apparaître comme un objet classique tournant uniformément dans l'espace des phases, un simple oscillateur mécanique (voir les figures animées). L'intégration sur toutes les phases (positions de départ à t = 0) de tels objets donne une configuration indépendante du temps similaire aux états propres-★ statiques F(u) ci-dessus ; elle fournit donc une visualisation intuitive de la limite classique pour les systèmes à grande action.

Moment angulaire des particules libres

Supposons qu'une particule se trouve initialement dans un état gaussien de produit d'incertitude minimum, avec les valeurs moyennes de position et d'impulsion toutes deux centrées à l'origine dans l'espace des phases. La fonction de Wigner pour un tel état se propageant librement est

$W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,$

où α est un paramètre décrivant la largeur initiale de la gaussienne, et τ = m/α²ħ .

Initialement, la position et l'impulsion ne sont pas corrélées (valeur moyenne du produit position-impulsion est.nulle). Ainsi, en 3 dimensions, nous nous attendons à ce que les vecteurs de position et d'impulsion soient plus susceptibles d'être perpendiculaires l'un à l'autre que parallèles.

Cependant, la position et la quantité de mouvement deviennent de plus en plus corrélées au fur et à mesure que l'état évolue, car les parties de la distribution plus éloignées de l'origine en position nécessitent une plus grande quantité de mouvement pour être atteintes : et asymptotiquement,

$W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.$

(Cette "compression" relative reflète l'étalement du paquet d'ondes libre dans l'espace des coordonnées).

En effet, il est possible de montrer que l'énergie cinétique de la particule devient asymptotiquement uniquement radiale, en accord avec la notion standard de mécanique quantique de l'indépendance d'orientation du moment angulaire non nul d'un état fondamental, soit :

$K_{\text{rad}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)$

$K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.$

Potentiel de Morse

Le potentiel de Morse est utilisé pour décrire approximativement la structure vibrationnelle d'une molécule diatomique.

L'évolution au cours du temps de la fonction de Wigner pour le potentiel de Morse U(x) = 20(1 − e^−0.16x)² en unités atomiques (a.u.). Les lignes solides représentent les courbes de niveau du Hamiltonien H(x, p) = p²/2 + U(x).

Effet tunnel quantique

L'effet tunnel est un effet quantique caractéristique où une particule quantique, n'ayant pas suffisamment d'énergie pour passer au-dessus d'une barrière, à la possibilité de la traverser. Cet effet n'existe pas en mécanique classique.

La fonction de Wigner pour le passage par effet tunnel à travers une barrière de potentiel U(x) = 8e^−0.25x2 en unités atomiques (a.u.). Les lignes solides représentent les courbes de niveau du Hamiltonien H(x, p) = p²/2 + U(x).

Potentiel quartique

L'évolution au cours du temps de la fonction de Wigner pour le potentiel quartique U(x) = 0.1x⁴ en unités atomiques (a.u.). Les lignes solides représentent les courbes de niveau du Hamiltonien H(x, p) = p²/2 + U(x).

État du chat de Schrödinger

Fonction de Wigner de deux états cohérents interférents évoluant à travers l'hamiltonien SHO. Les projections d'impulsion et de coordonnées correspondantes sont tracées à droite et sous le tracé de l'espace des phases.