État cohérent

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Un oscillateur harmonique classique (A et B) et en mécanique quantique (C à H). Les figures C à H représentent les solutions de l'équation de Schrödinger pour un même potentiel. L'axe horizontal est la position, et l'axe vertical la partie réelle (en bleu) et imaginaire (en rouge) de la fonction d'onde. (C,D,E,F) sont les états stationnaires (états propres d'énergie), et (G,H) non stationnaires. H est un état cohérent, similaire dans son comportement à B

.

En mécanique quantique, un état cohérent est un état quantique d'un oscillateur harmonique quantique dont le comportement ressemble à celui d'un oscillateur harmonique classique. Les états cohérents ont été utilités pour décrire les états de la lumière des lasers qui est cohérente[réf. souhaitée].

Cet état a été mis en évidence par Erwin Schrödinger, au tout début de la conception de la mécanique quantique, en réponse à une remarque de Hendrik Antoon Lorentz qui se plaignait que la fonction d'onde de Schrödinger ne faisait pas apparaitre de comportement classique[1],[2].

Les valeurs moyennes des états quantiques (\langle x \rangle , \langle p \rangle) (coordonnée et quantité de mouvement) de l'oscillateur quantique en état cohérent correspondent aux valeurs classiques d'un oscillateur classique.

Définition[modifier | modifier le code]

Dans les années 1960, il y eut un regain d'intérêt pour cet état, pour décrire le comportement des bosons. Des formulations équivalentes à celle de Schrödinger faisant intervenir un opérateur d'annihilation.

On définit un état cohérent  |\alpha\rangle comme étant l'état propre de l'opérateur d'annihilation  \hat a . C'est-à-dire que :

\hat a |\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle

Il en découle que :

|\alpha\rangle =e^{-{|\alpha|^2\over2}}
\left(1+\frac{\alpha\hat a^\dagger}{1!}+\frac{(\alpha\hat a^\dagger)^2}{2!}+\frac{(\alpha\hat a^\dagger)^3}{3!}+...\right)
|0\rangle

Ou de manière plus compacte :

|\alpha\rangle =e^{-{|\alpha|^2\over2}}\exp\left(\alpha\hat a^\dagger\right)|0\rangle

Ici, \alpha est un nombre complexe qui possède une partie réelle et une partie imaginaire. Il peut être représenté à l'aide d'une exponentielle complexe :

\alpha = |\alpha|e^{i\theta}~~~

|\alpha| et \theta sont respectivement l'amplitude et la phase de l'état.

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

\langle\alpha|\hat a|\alpha\rangle=\alpha
\langle\alpha|\hat n|\alpha\rangle=\langle\alpha|\hat a^\dagger \hat a|\alpha\rangle=|\alpha|^2
\langle\alpha|\hat n^2|\alpha\rangle=|\alpha|^4+|\alpha|^2
\Delta n=\sqrt{\langle \hat n^2 \rangle-\langle \hat n \rangle^2}=|\alpha|

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Greenberger, Hentschel, Weinert Compendium of Quantum Physics Springer, 2009. p. 106 (Coherent states)
  2. E. Schrödinger: Der stetige Übergang von der Mikro zur Makromechanik. Naturwiss. 14, 664 (1926)