Crochet de Poisson

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En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables $A$ et $B$ , c'est-à-dire de deux fonctions sur l'espace des phases, par :

$\{A,B\} \ = \ \sum_{i=1}^N \ \left[ \ \dfrac{\partial A}{\partial q_i} \ \dfrac{\partial B}{\partial p_i} \ - \ \dfrac{\partial A}{\partial p_i} \ \dfrac{\partial B}{\partial q_i} \ \right]$

où les $2N$ variables canoniques sont :

les $N$ coordonnées généralisées $\{q_i \}_{i=1, ..., N}$ .
les $N$ moments conjugués $\{ p_i \}_{i=1, ..., N}$ .

Propriétés [modifier]

Le crochet de Poisson est antisymétrique : $\{A,B\} \ = \ - \ \{B,A\}$
Le crochet de Poisson apporte une structure d'algèbre à l'ensemble des observables, qui en mécanique classique sont des fonctions sur l'espace des phases :

$\begin{align}\{A,B+C\} &= \{A,B\} + \{A,C\},\\ \{\alpha A,\beta B\} &= \alpha \beta \{A,B\} .\end{align}$

Le crochet de Poisson satisfait à l'identité de Jacobi :

$\{A,\{B,C\}\} \ + \ \{B,\{C,A\}\} \ + \ \{C,\{A,B\}\} \ = \ 0$
Les variables canoniques sont liées par les relations : $\{q_j,q_k\} \ = 0 \quad \{q_j,p_k\} \ = \ \delta^j_k \quad \{p_j,p_k\} \ = 0$
$\dfrac{\part}{\part t}\{A,B\} \ = \left\{\dfrac{\part A}{ \part t},B \right\}+ \left\{A,\dfrac{\part B}{ \part t} \right\}$ car les dérivées partielles commutent.

Équations canoniques [modifier]

Soit $H(q_i,p_i)$ le hamiltonien du système considéré. Les équations canoniques de Hamilton se réécrivent à l'aide du crochet de Poisson sous la forme :

$\dot{q}_j \ = \ \{q_j,H\} \ = \ \dfrac{\partial H}{\partial p_j}$

et :

$\dot{p}_j \ = \ \{p_j,H\} \ = \ - \ \dfrac{\partial H}{\partial q_j}$

ou encore, de manière unifiée :

$\forall x(t) \in E^R, \dot{x} = \{x, H\}$

où $E$ est l'espace des phases associé à la formulation hamiltonienne.

Évolution d'une observable quelconque [modifier]

Cas général [modifier]

Soit une observable $A$ , c’est-à-dire une fonction sur l'espace des phases dépendant des moments et des coordonnées généralisées. Il résulte des relations précédentes que :

$\dfrac{\mathrm dA}{\mathrm dt} \ = \ \dfrac{\partial A}{\partial t} \ + \ \{A,H\}$

où $\tfrac{\partial A}{\partial t}$ désigne la dérivée partielle de $A$ par rapport à une éventuelle dépendance explicite de $A$ par rapport au temps.

Cas de l'énergie totale [modifier]

On obtient pour l'énergie totale du système :

$\dfrac{\mathrm dH}{\mathrm dt} \ = \ \dfrac{\partial H}{\partial t}$

puisque $\{H,H\} = 0$ par antisymétrie.

Théorème de Poisson [modifier]

Si $A$ et $B$ sont deux « intégrales premières » du système^[1], c'est-à-dire si $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dB}{dt}=0$ , alors $\ \{A,B\}$ en est une aussi.

Démonstration :

Dans le cas où $A$ et $B$ ne dépendent pas explicitement du temps : d'après l'identité de Jacobi, on a $\{A,\{B,H\}\} \ + \ \{B,\{H,A\}\} \ + \ \{H,\{A,B\}\} \ = \ 0$ .

Or $\dfrac{dA}{dt}= \{A,H\} =0$ et $\dfrac{dB}{dt}= \ \{B,H\} =0$ , donc $\ \{H,\{A,B\}\} =0$ .

Comme $\ \{A,B\}$ ne dépend pas non plus explicitement du temps, on a $\dfrac{d\{A,B\}}{dt} = \{\{A,B\},H\} =0$ .

D'où la conclusion pour ce cas.

Dans le cas général : on a $\dfrac{d}{dt}\{A,B\} \ = \ \dfrac{\partial}{\partial t}\{A,B\} \ + \ \{\{A,B\},H\}$

En utilisant l'identité de Jacobi et l'égalité utilisant les dérivées partielles, on obtient $\dfrac{d}{dt}\{A,B\} \ = \left\{\dfrac{dA}{dt},B \right\}+ \left\{A,\dfrac{dB}{dt} \right\}$

La conclusion dans le cas général est alors évidente.

Quantification canonique [modifier]

L'intérêt du crochet de Poisson est qu'il permet de passer facilement à la quantification dans le formalisme algébrique de Heisenberg de la mécanique quantique. Il suffit en général de faire une substitution :

$\{X,Y\} \ \to \ \dfrac{1}{i\hbar} \ [\widehat{X},\widehat{Y}]$

où $[.,.]$ désigne le commutateur, pour obtenir les relations de commutation des opérateurs dans le formalisme de Heisenberg à partir des crochets de Poisson des observables classiques. La même stratégie est applicable à la quantification d'un champ classique.

Notes [modifier]

↑ on dit aussi « constante du mouvement »

Bibliographie [modifier]

R. Campbell, La mécanique analytique, Coll. Que Sais-Je ?, Presses Universitaires de France.
Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 1 : Mécanique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 3 : Mécanique quantique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
A. Messiah, Mécanique Quantique, Dunod.