Crochet de Poisson

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En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables A et B, c'est-à-dire de deux fonctions sur l'espace des phases, par :

\{A,B\} \ = \ \sum_{i=1}^N \ \left[ \ \dfrac{\partial A}{\partial q_i} \ \dfrac{\partial B}{\partial p_i} \ - \ \dfrac{\partial A}{\partial p_i} \ \dfrac{\partial B}{\partial q_i} \ \right]

où les 2N variables canoniques sont :

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Le crochet de Poisson est antisymétrique :
    \{A,B\} \ = \ - \ \{B,A\}
  • Le crochet de Poisson apporte une structure d'algèbre à l'ensemble des observables, qui en mécanique classique sont des fonctions sur l'espace des phases :
\begin{align}\{A,B+C\} &= \{A,B\} + \{A,C\},\\
\{\alpha A,\beta B\} &= \alpha \beta \{A,B\} .\end{align}
  • Le crochet de Poisson satisfait à l'identité de Jacobi :
     \{A,\{B,C\}\} \  + \ \{B,\{C,A\}\} \  + \ \{C,\{A,B\}\} \ = \ 0
  • Les variables canoniques sont liées par les relations :
    \{q_j,q_k\} \ = 0 \quad \{q_j,p_k\} \ = \ \delta^j_k \quad \{p_j,p_k\} \ = 0
  • \dfrac{\part}{\part t}\{A,B\} \ = \left\{\dfrac{\part A}{ \part t},B \right\}+ \left\{A,\dfrac{\part B}{ \part t} \right\} car les dérivées partielles commutent.

Équations canoniques[modifier | modifier le code]

Soit H(q_i,p_i) le hamiltonien du système considéré. Les équations canoniques de Hamilton se réécrivent à l'aide du crochet de Poisson sous la forme :

\dot{q}_j \ = \  \{q_j,H\} \ = \ \dfrac{\partial H}{\partial p_j}

et :

\dot{p}_j  \ = \ \{p_j,H\} \ = \ - \ \dfrac{\partial H}{\partial q_j}

ou encore, de manière unifiée :

\forall x(t) \in E^R, \dot{x} = \{x, H\}

E est l'espace des phases associé à la formulation hamiltonienne.

Évolution d'une observable quelconque[modifier | modifier le code]

Cas général[modifier | modifier le code]

Soit une observable A, c’est-à-dire une fonction sur l'espace des phases dépendant des moments et des coordonnées généralisées. Il résulte des relations précédentes que :

 \dfrac{\mathrm dA}{\mathrm dt} \ =  \ \dfrac{\partial A}{\partial t} \ + \  \{A,H\}

\tfrac{\partial A}{\partial t} désigne la dérivée partielle de A par rapport à une éventuelle dépendance explicite de A par rapport au temps.

Cas de l'énergie totale[modifier | modifier le code]

On obtient pour l'énergie totale du système :

 \dfrac{\mathrm dH}{\mathrm dt} \ =  \ \dfrac{\partial H}{\partial t}

puisque  \{H,H\} = 0 par antisymétrie.

Théorème de Poisson[modifier | modifier le code]

Si A et B sont deux « intégrales premières » du système[1], c'est-à-dire si \dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dB}{dt}=0, alors \ \{A,B\} en est une aussi.

Démonstration :
Dans le cas où A et B ne dépendent pas explicitement du temps : d'après l'identité de Jacobi, on a  \{A,\{B,H\}\} \  + \ \{B,\{H,A\}\} \  + \ \{H,\{A,B\}\} \ = \ 0.
Or \dfrac{dA}{dt}= \{A,H\} =0 et \dfrac{dB}{dt}= \ \{B,H\} =0, donc \ \{H,\{A,B\}\} =0.
Comme \ \{A,B\} ne dépend pas non plus explicitement du temps, on a \dfrac{d\{A,B\}}{dt} = \{\{A,B\},H\} =0.
D'où la conclusion pour ce cas.
Dans le cas général : on a  \dfrac{d}{dt}\{A,B\} \ =  \ \dfrac{\partial}{\partial t}\{A,B\} \ + \  \{\{A,B\},H\}
En utilisant l'identité de Jacobi et l'égalité utilisant les dérivées partielles, on obtient \dfrac{d}{dt}\{A,B\} \ = \left\{\dfrac{dA}{dt},B \right\}+ \left\{A,\dfrac{dB}{dt} \right\}
La conclusion dans le cas général est alors évidente.

Quantification canonique[modifier | modifier le code]

L'intérêt du crochet de Poisson est qu'il permet de passer facilement à la quantification dans le formalisme algébrique de Heisenberg de la mécanique quantique. Il suffit en général de faire une substitution :

 \{X,Y\} \ \to \ \dfrac{1}{i\hbar} \ [\widehat{X},\widehat{Y}]

 [.,.] désigne le commutateur, pour obtenir les relations de commutation des opérateurs dans le formalisme de Heisenberg à partir des crochets de Poisson des observables classiques. La même stratégie est applicable à la quantification d'un champ classique.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. on dit aussi « constante du mouvement »

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]