Représentation de Heisenberg

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En mécanique quantique, la représentation de Heisenberg est une des trois formulations et modes de traitement des problèmes dépendants du temps dans le cadre de la mécanique quantique classique. Dans cette représentation, les opérateurs du système évoluent avec le temps.

Généralités

Le principe de superposition quantique stipule qu'un état est en général une combinaison linéaire d'états propres. Dans cette représentation:

• Les états sont indépendant du temps, notés dans la notation de Dirac sous forme de kets $|\Psi\rangle_H$
• Les opérateurs sont dépendants du temps.

Cette représentation est à opposer à la représentation de Schrödinger, dans laquelle les operateurs sont indépendants du temps mais opèrent sur des vecteurs d'état qui sont fonction du temps.

La représentation de Heisenberg ne doit pas être confondue avec la « mécanique des matrices » , quelquefois appelée « mécanique quantique de Heisenberg ».

Formulation mathématique

Dans le cadre de la représentation de Heisenberg de la mécanique quantique le vecteur d'état $|\psi\rangle_H$ est indépendant du temps, on peut la déterminer ainsi :

$| \psi \rangle_H = U^{-1}(t,t_0) | \psi (t) \rangle_S = | \psi (t_0) \rangle_S$

alors qu'une observable satisfait à l'équation d'évolution :

${d \over {dt}}A_H={1 \over {i\hbar}}[A_H,\hat H]+({{\partial A_H} \over {\partial t}})_{classique}$

La similitude avec la physique classique est évidente en remplaçant le commutateur par un crochet de Poisson.

Opérateur d'évolution

Article détaillé : Opérateur d'évolution.

On considère l'opérateur d'évolution temporelle suivant :

$|\Psi(t)\rangle_S = U(t,t_0)|\Psi(t_0)\rangle_S$

avec

$U(t,t_0)=e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}$

Lien avec la représentation de Schrödinger

Soit une observable $\hat A_H$ :

$\lang \hat A \rangle (t) = \langle \psi | \hat A_H(t) | \psi \rangle_H = \langle \psi(t) | \hat A_S | \psi(t) \rangle_S$

où $| \psi(t) \rang$ obéit à l'équation de Schrödinger:

$| \psi (t) \rangle_S = U(t,t_0) | \psi (t_0) \rangle_S$

On en déduit que

$\hat A_H (t)=U^{-1}(t,t_0) \hat A_S U(t,t_0)$

donc

${d\over{dt}} \hat A_H (t)={{i\hat H} \over \hbar}e^{i\hat Ht / \hbar} \hat A_S e^{-i\hat Ht / \hbar} +e^{i\hat Ht / \hbar} ({{\partial \hat A_S}\over{\partial t}})e^{-i\hat Ht / \hbar}- e^{i\hat Ht / \hbar} \hat A_S {{i\hat H}\over \hbar} e^{-i\hat Ht / \hbar}=$
${i \over \hbar } \left( \hat H \hat A(t)_H - \hat A(t)_H \hat H \right) + \left(\frac{\partial \hat A_H}{\partial t}\right)_\mathrm{classique}$

puisque $e^{(-iHt/\hbar)}$ commute avec $\hat H$.

	Représentation :
	Heisenberg	Interaction	Schrödinger
Ket	constant	$|\Psi(t)\rangle_I = U_0^{-1} |\Psi(t)\rangle_S$	$|\Psi(t)\rangle_S = U |\Psi(t_0)\rangle_S$
Observable	$A_H (t)=U^{-1} A_S U$	$A_I (t)=U_0^{-1} A_S U_0$	constant
Opérateur d'évolution	$\hat H = \hat H_0 + \hat V(t)$	$U(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}$ $U_0(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H_0(t-t_0)}$
Mécanique quantique  : Théorème d'Ehrenfest • Équation de Schrödinger • Propagateur