Équation de Rarita-Schwinger

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En physique théorique, l’équation de Rarita-Schwingern décrit le comportement des fermions de spin-3/2. Cette équation est similaire à celle de Dirac qui s'applique aux particules élémentaires de spins demi-entiers, comme les électrons. Elle a été formulée pour la première fois par William Rarita et Julian Schwinger en 1941. Elle peut être écrite de la manière suivante[1] :

 \left ( \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \gamma_5 \gamma_\nu \partial_\rho + m \sigma^{\mu \sigma} \right)\psi_\sigma = 0

 \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} est le symbole de Levi-Civita, \gamma_5 et \gamma_\nu sont les matrices de Dirac, m est la masse, \sigma^{\mu \nu} \equiv i/2\left [ \gamma^\mu , \gamma^\nu \right ] et \psi_\sigma est un spineur à valeurs vectorielles avec des composantes supplémentaires par rapport au spineur à quatre composants de l'équation de Dirac. Il correspond à la théorie de la représentation du groupe de Lorentz (en) \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)\otimes \left(\left(\tfrac{1}{2},0\right)\oplus \left(0,\tfrac{1}{2}\right)\right), ou plutôt à sa partie \left(1,\tfrac{1}{2}\right) \oplus \left(\tfrac{1}{2},1 \right)[2]. Cette équation de champ peut être calculée comme l'équation d'Euler-Lagrange correspondant au lagrangien Rarita-Schwinger[1] :

\mathcal{L}=-\tfrac{i}{2}\;\bar{\psi}_\mu \left ( \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \gamma_5 \gamma_\nu \partial_\rho + m \sigma^{\mu \sigma} \right)\psi_\sigma

\bar{\psi}_\mu est l’adjoint de Dirac.

Cette équation est utile pour les fonctions d'ondes d'objets composites comme les Baryons Deltas (Δ) ou pour l'hypothétique gravitino. Aucune particule élémentaire de spin 3/2 n'a été observée expérimentalement.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Steven Weinberg, The quantum theory of fields, vol. 3, Cambridge, p. 335
  2. (en) Steven Weinberg, The quantum theory of fields, vol. 1, Cambridge, p. 232

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) W. Rarita et J. Schwinger, « On a Theory of Particles with Half-Integral Spin », Phys. Rev., no 60, 61,‎ 1941 (lire en ligne)
  • (en) P.D.B. Collins, A.D. Martin et E.J. Squires, Particle physics and cosmology, Wiley,‎ 1989, p. Chapitre 1.6
  • (en) G Velo et D. Zwanziger, « Propagation and Quantization of Rarita-Schwinger Waves in an External Electromagnetic Potential », Phys. Rev, no 86, 1337,‎ 1969
  • (en) G. Velo et D. Zwanziger, « Noncausality and Other Defects of Interaction Lagrangians for Particles with Spin One and Higher », Phys. Rev, no 188, 2218,‎ 1969
  • (en) M. Kobayashi et A. Shamaly, « Minimal Electromagnetic coupling for massive spin-two fields », Phys. Rev, no D 17,8, 2179,‎ 1978