Matrice densité

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La matrice densité, ou opérateur densité est une entité mathématique introduite par le mathématicien et physicien John von Neumann. Elle permet de résumer en une seule matrice tout l'ensemble possible des états quantiques d'un système physique donné à un instant donné, mariant ainsi mécanique quantique et physique statistique.

Définition

Cas pur

La description du système se fait ici grâce à un vecteur d'état $| \psi(t) \rangle$ que l'on peut développer sur la base des $\{ | u_n \rangle \}$ :

$\left| \psi(t) \right\rangle = \sum_n {c_n(t) \cdot \left| u_n \right\rangle}$

avec $\sum_n | c_n(t) |^2 = 1\,$

L'opérateur densité est défini pour un état pur par :

$\hat \rho = |\psi(t) \rangle \langle \psi(t) | = \sum_{n,p} c_n^*(t) c_p(t) | u_p \rangle \langle u_n |$

Mélange statistique d'états purs

En admettant qu'un certain système physique puisse être, à un certain instant t, dans un mélange statistique (fini ou infini) d'états quantiques $| \psi_i \rangle$ avec des probabilités $p_i$ (où $\sum_i p_i = 1\,$) , alors la matrice densité représentant l'ensemble de ces états est :

$\hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i |$

L'aspect statistique introduit ici est de deux natures, l'une classique et l'autre quantique :

1. classique : dû à l'estimation du ket par une distribution statistique des différents kets possibles,

2. quantique : incertitude quantique fondamentale même si le système est parfaitement déterminé.

Les éléments de la matrice densité valent :

$\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} | \hat \rho_i | u_n^{(i)} \rangle = \sum_i p_i c_n^{(i)*} c_p^{(i)}$

Démonstration

$\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} |\hat \rho | u_n^{(i)} \rangle = \langle u_p^{(i)} | (\sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i| )| u_n^{(i)} \rangle$

$\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} | (\sum_{p'} c_{p'}^{(i)} |u_{p'}^{(i)} \rangle) (\sum_{n'} c_{n'}^{(i)*}\langle u_{n'}^{(i)}| )| u_n^{(i)} \rangle$

où $\langle u_{n'}^{(i)} | u_n^{(i)} \rangle = \begin{cases} 1 & n'=n\\ 0 & sinon \end{cases}$

d'où $\hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i |$

 

Propriétés

La matrice obtenue a les propriétés suivantes :

• Elle est hermitienne, $\hat \rho =\hat \rho^{\dagger}$, elle peut donc être diagonalisée, et ses valeurs propres sont positives.
• Sa trace est égale à 1, $Tr(\hat \rho) =1$, conservation de la probabilité totale.
• Elle doit être définie positive ou nulle.
• Dans le cas d'un état pur, l'opérateur densité est alors un projecteur : $\hat \rho^2 = \hat \rho$.
• $Tr(\rho^2) \le 1$, avec égalité si et seulement si le système physique est dans un état pur (c'est-à-dire que tous les $p_i$ sont nuls sauf un).

Valeur moyenne

On peut calculer la valeur moyenne d'une observable A à partir de la formule :

$\langle \hat A \rangle = \langle \Psi |\hat A | \Psi \rangle = Tr(\hat A \hat \rho) = Tr(\hat \rho \hat A)$

avec $\hat \rho = \sum_i^N p_i \hat \rho_i$ est la matrice densité d'un mélange statistique d'états.

Démonstration

On considère un mélange statistique d'états :

$| \Psi_i \rangle = \sum_{n,i} c_n^{(i)} |u_n^{(i)} \rangle$

$\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i \langle \Psi_i | \hat A | \Psi_i \rangle = \sum_i p_i \sum_{n,p} c_n^{(i)*} c_p^{(i)} \langle u_n^{(i)} |\hat A| u_p^{(i)} \rangle$

$\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i \sum_{n,p} \langle u_p^{(i)} | \hat \rho_i | u_n^{(i)}\rangle \langle u_n^{(i)} | \hat A| u_p^{(i)} \rangle$

$\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i Tr(\hat \rho_i \hat A)$

d'où : $\langle \hat A \rangle = Tr(\hat A \hat \rho) = Tr(\hat \rho \hat A)$

 

Evolution avec le temps

Article détaillé : Opérateur d'évolution.

L'évolution temporelle du vecteur d'état est donné par l'équation de Schrödinger dépendante du temps :

$\hat H \left| \Psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle$

En termes de la matrice densité, on a l'équation de Liouville-Von Neumann:

$[\hat{H} , \hat{\rho}] = i \hbar {d\over dt} \hat{\rho}$

Lien avec l'entropie

Enfin, on peut définir l'entropie de Von Neumann :

$S=-k_B Tr(\hat \rho\ln(\hat \rho))$

où $k_B$ est la constante de Boltzmann.

L'entropie d'un état pur est nulle, car il n'y a aucune incertitude sur l'état du système. On peut aussi trouver une base où la matrice est diagonale, avec des 0, et un 1 sur la diagonale, ce qui donne bien une entropie égale à 0.

Voir aussi

• État quantique
• Physique statistique
• Mécanique quantique

Bibliographie

• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
• Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique, 1996