Matrice densité

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En physique quantique, la matrice densité, ou opérateur densité, souvent représentée par \rho, est un objet mathématique introduit par le mathématicien et physicien John von Neumann permettant de décrire l'état d'un système physique. Elle constitue une généralisation de la formulation d'un état physique à l'aide d'un ket \left| \psi(t) \right\rangle , en permettant de décrire des états plus généraux, appelés mélanges statistiques, que la précédente formulation ne permettait pas de décrire.

Elle résume en une seule matrice tout l'ensemble possible des états quantiques d'un système physique donné à un instant donné, mariant ainsi mécanique quantique et physique statistique. À l'instar de la formulation à l'aide d'un ket, toutes les propriétés du système: valeurs espérées des observables peuvent être extraites à partir de cette matrice.

Définition[modifier | modifier le code]

Cas pur[modifier | modifier le code]

Tout état qui pouvait être décrit par un vecteur d'état | \psi(t) \rangle , que l'on peut développer sur la base des \{ | u_n \rangle \}  :

\left| \psi(t) \right\rangle = \sum_n  {c_n(t) \cdot \left| u_n \right\rangle} avec \sum_n | c_n(t) |^2 = 1\,
l'est maintenant par la matrice définie selon:
\hat \rho = |\psi(t) \rangle \langle \psi(t) | = \sum_{n,p} c_n^*(t) c_p(t) | u_p \rangle \langle u_n |

Cette nouvelle formulation est parfaitement identique à la précédente. On dit que les matrices densités obtenues de la sorte sont pures car elles peuvent être obtenues à partir d'un vecteur d'état et vice versa.

Mélange statistique[modifier | modifier le code]

Comme anticipé dans le préambule, les matrices densité sont aussi capables de représenter des états que la formulation par le biais des vecteurs d'états était incapable de décrire. ll s'agit d'états construits à partir d'états purs selon

\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} | \hat \rho_i | u_n^{(i)} \rangle = \sum_i p_i c_n^{(i)*} c_p^{(i)} , avec p_i \geqslant 0  ~ \forall i,

où l'on peut montrer que p_i est la probabilité que cet état se trouve dans l'état pur i.

L'on voit aisément qu'il est impossible de réécrire \hat \rho_{pn} = | \xi \rangle \langle \xi | | \xi \rangle serait le vecteur d'état associé.

On appelle un tel état un mélange statistique.

L'aspect statistique introduit ici est de deux natures, l'une classique et l'autre quantique :

1. classique : dû à l'estimation du ket par une distribution statistique des différents kets possibles,
2. quantique : incertitude quantique fondamentale même si le système est parfaitement déterminé.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La matrice obtenue a les propriétés suivantes :

  • Elle est hermitienne, \hat \rho =\hat \rho^{\dagger}, elle peut donc être diagonalisée, et ses valeurs propres sont positives.
  • Sa trace est égale à 1, Tr(\hat \rho) =1, conservation de la probabilité totale.
  • Elle doit être définie positive ou nulle.
  • Dans le cas d'un état pur, l'opérateur densité est alors un projecteur : \hat \rho^2 = \hat \rho .
  • Tr(\rho^2) \le 1, avec égalité si et seulement si le système physique est dans un état pur (c'est-à-dire que tous les p_i sont nuls sauf un).

Valeur moyenne[modifier | modifier le code]

On peut calculer la valeur moyenne d'une observable A à partir de la formule :

 \langle \hat A \rangle = \langle \Psi |\hat  A | \Psi \rangle = Tr(\hat A \hat \rho) = Tr(\hat \rho \hat A)

avec \hat \rho = \sum_i^N p_i \hat \rho_i est la matrice densité d'un mélange statistique d'états.

Évolution avec le temps[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Opérateur d'évolution.

L'évolution temporelle du vecteur d'état est donné par l'équation de Schrödinger dépendante du temps :

 \hat H \left| \Psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle

En termes de la matrice densité, on a l'équation de Liouville-Von Neumann:

 [\hat{H} , \hat{\rho}]  = i \hbar {d\over dt} \hat{\rho}

Lien avec l'entropie[modifier | modifier le code]

Enfin, on peut définir l'entropie de Von Neumann :

S=-k_B Tr(\hat \rho\ln(\hat \rho))

k_B est la constante de Boltzmann.

L'entropie d'un état pur est nulle, car il n'y a aucune incertitude sur l'état du système. On peut aussi trouver une base où la matrice est diagonale, avec des 0, et un 1 sur la diagonale, ce qui donne bien une entropie égale à 0.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]