Triangle orthique

Le triangle orthique d'un triangle de référence est le triangle ayant pour sommets les pieds des hauteurs du triangle de référence.

Dans un triangle ABC acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs, concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices du triangle orthique h_Ah_Bh_C^[1]. Il en résulte que, dans un tel triangle, l'orthocentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique. Le triangle orthique est également le triangle podaire et le triangle cévien de l'orthocentre pour le triangle de référence.

Les quadruplets de points (C, B, h_C, h_B) ; (B, A, h_B, h_A) et (A, C, h_A, h_C) sont cocycliques. Les centres des cercles en question sont les milieux des côtés du triangle ABC (selon le théorème de Thalès pour le cercle).

On a les égalités d'angles inscrits^[1] :

{\widehat {h_{B}h_{A}A}}={\widehat {h_{B}BA}}={\widehat {ACh_{C}}}={\widehat {Ah_{A}h_{C}}}

Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique

Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons joignant le centre du cercle circonscrit aux sommets du triangle ABC.

On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC de centre O, et A', B' et C' les pieds des hauteurs issues de A,B, C respectivement.

Une étude des angles inscrits permet de montrer que (B'C') est parallèle à la tangente au cercle circonscrit en A. Donc (OA) est perpendiculaire à (B'C'). On montre aussi que cette tangente est parallèle à la droite de Simson du point intersection de (AH) avec le cercle circonscrit^[2].

De même (OB) est perpendiculaire à (A'C') et (OC) est perpendiculaire à (A'B').

On peut dire aussi :

Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique.

Le triangle formé par les tangentes au cercle circonscrit est le triangle tangentiel, ses côtés sont donc parallèles à ceux du triangle orthique.

Le triangle A'B'C' est le triangle orthique de ABC, le triangle A₁B₁C₁ est son triangle tangentiel .

Le triangle orthique est l'unique trajectoire d'un balle sur un billard triangulaire qui se referme en trois rebonds^[3]^,^[4].

On peut aussi en déduire que les côtés du triangle orthique sont antiparallèles aux côtés du triangle deux à deux^[5].

Problème de Fagnano

Article détaillé : Problème de Fagnano.

Le triangle orthique est la solution au problème d'optimisation visant à trouver le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre.

Triangle médian du triangle orthique

Soit un triangle ABC non rectangle, soient A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C, on note A₁ et A₂ les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC), A₃ et A₄ les symétriques de A’ par rapport à A₁ et A₂.

La droite (A₃A₄) est parallèle à (A₁A₂), les points B’, C’, A₃ et A₄ sont alignés, la droite (A₁A₂) contient les milieux Q et R des côtés [A’C’] et [A’B’] du triangle orthique de ABC, (A₁A₂) est un des côtés de PQR, triangle médian du triangle orthique.

A₃A₄ est égal au périmètre du triangle orthique A’B’C’. Ce périmètre est égal à ${\frac {8S^{2}}{abc}}$ où S est l'aire du triangle ABC et où a, b, c sont égaux aux longueurs des côtés de ABC.

Références

↑ ^{a et b} Patrice Debart, « Triangle orthique », sur debart.fr
↑ Trajan Lalesco, La géométrie du triangle, Jacques Gabay, 1987 (ISBN 2-87647-007-1), p. 10
↑ Elisabeth Busser et Gilles Cohen, 100 Jeux mathématiques du «Monde», Pole, coll. « Jeux - Tests et maths », 2007, énoncé p. 70, solution p.99.
↑ Peyrol Caroline (Coordinnatrice) et Équipe d'élèves et d'enseignants des lycées Paul Eluard de Saint-Denis (93), Jacques Feyder d'Epinay sur Seine et du collège Jean Vilar de Villetaneuse, « Trajectoires périodiques et billard triangulaire », dans Actes du congrès “MATh.en.JEANS” en 1996, 1996 (lire en ligne), p. 129-130.
↑ (en) Florentin Smarandache et Ion Patrascu, The Geometry of the Orthological triangles (lire en ligne)

Articles connexes

Sources

Démonstrations : Sortais Yvonne et René, La géométrie du triangle, Hermann, 1997.
(en) Eric W. Weisstein, « Orthic Triangle », sur MathWorld

Bibliographie

Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)

Portail de la géométrie

[:0-1] {a et b} Patrice Debart, « Triangle orthique », sur debart.fr

[2] Trajan Lalesco, La géométrie du triangle, Jacques Gabay, 1987 (ISBN 2-87647-007-1), p. 10

[3] Elisabeth Busser et Gilles Cohen, 100 Jeux mathématiques du «Monde», Pole, coll. « Jeux - Tests et maths », 2007, énoncé p. 70, solution p.99.

[4] Peyrol Caroline (Coordinnatrice) et Équipe d'élèves et d'enseignants des lycées Paul Eluard de Saint-Denis (93), Jacques Feyder d'Epinay sur Seine et du collège Jean Vilar de Villetaneuse, « Trajectoires périodiques et billard triangulaire », dans Actes du congrès “MATh.en.JEANS” en 1996, 1996 (lire en ligne), p. 129-130.

[5] (en) Florentin Smarandache et Ion Patrascu, The Geometry of the Orthological triangles (lire en ligne)

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron