Symédiane

En géométrie, les symédianes d'un triangle désignent des droites particulières de cette figure : ce sont les droites symétriques des médianes par rapport aux bissectrices^[1].

La symédiane en un sommet $A$ d'un triangle est l'isogonale de la médiane par rapport aux côtés de l'angle $A$ .

Si $m_{a}$ est la longueur de la médiane issue de $A$ , alors la longueur de la symédiane issue de $A$ est donnée par la formule $s_{a}={\frac {2\times b\times c\times m_{a}}{b^{2}+c^{2}}}$

Point de Lemoine

Émile Lemoine a démontré en 1873 que les trois symédianes d'un triangle d'un plan affine euclidien sont concourantes^[2]; il les appelle « médiane antiparallèle » et leur intersection « centre des médianes antiparallèles^[3]», le terme de « symédiane » sera introduit par Maurice d'Ocagne en 1880^[4]^,^[5]. Leur point d'intersection s'appelle le point de Lemoine du triangle $ABC$ . De ce fait, c'est le conjugué isogonal du centre de gravité $G$ du triangle.

Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.

Il s'ensuit que le point de Lemoine est le barycentre des points pondérés : $(A, a 2), (B, b 2), (C, c 2)$ .

Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles à ces côtés.

C'est le point dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle est minimale^[6].

Le point de Lemoine est le centre de gravité du triangle formé par ses projections orthogonales sur les trois côtés du triangle $ABC$ .

Ce point est aussi appelé point de Grèbe par les auteurs allemands.

Le point de Lemoine (de nombre de Kimberling X(6)) est à l'intersection de la droite de Fermat (qui passe par les deux points de Fermat-Torricelli), de la droite de Napoléon (qui passe par les deux points de Napoléon) et de la droite reliant les deux points de Vecten.

Droite de Lemoine

La droite de Lemoine du triangle est la polaire du point de Lemoine par rapport au cercle circonscrit du triangle. C'est sur cette droite que reposent aussi les trois centres des cercles d'Apollonius, cercles correspondants aux triplets $(A, B, CA / CB), (B, C, AB / AC), (C, A, BC / BA)$ .

Constructions des symédianes

Par les antiparallèles aux côtés du triangle

La symédiane coupe une antiparallèle au côté opposé en son milieu.

Soit $M'$ un point mobile de la médiane $(AA')$ du triangle $ABC$ , et $(DE)$ une antiparallèle à $(BC)$ qui coupe la symédiane issue du sommet $A$ en $M$ .

L'antiparallèle $(DE)$ est parallèle à la tangente en $A$ au cercle circonscrit de $ABC$ .

Par la symétrie d'axe la bissectrice $(AI)$ de ${\widehat {BAC}}$ , les points $D$ , $M$ , $E$ ont pour images $D’$ , $M’$ , $E’$ .

$(D’E’)$ est parallèle à $(BC)$ . $M’$ , situé sur la médiane $[AA’]$ , est le milieu de $[D’E’]$ . Par symétrie réciproque, $M$ est le milieu de $[DE]$ .

Réciproque

Dans le triangle $ABC$ , soit $M$ le milieu de $[DE]$ une antiparallèle à $(BC)$ . On montre que $(AM)$ est la symédiane passant par $A$ :

La droite $(AM)$ est la conjuguée harmonique de la tangente en $A$ au cercle circonscrit par rapport à $(AB, AC)$ .

La droite $(AM)$ est donc la polaire, par rapport au cercle circonscrit du point $TA$ , intersection de (BC) avec la tangente en $A$ au cercle circonscrit.

Par réciprocité polaire, la droite $(AM)$ contient le pôle $T'$ de (BC). $(AM)$ est la symédiane issue de $A$ .

Application : cercles de Tücker

Par les tangentes à un cercle circonscrit

Pour un triangle $ABC$ , soit $D$ l'intersection des tangentes au cercle circonscrit en $B$ et $C$ . Alors $(AD)$ est la symédiane en $A$ de $ABC$ ^[7].

De façon similaire, on a la construction suivante : la symédiane de $A$ de $ABC$ est la tangente en $A$ du triangle $AB'C$ où $B'$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$ ^[8].

Références

↑ (en) Eric W. Weisstein, « Symmedian Point », sur MathWorld.
↑ Emile Lemoine, « Note sur un point remarquable du plan d’un triangle », Nouvelles annales de mathématiques, 2^e série, vol. 12,‎ 1873, p. 364-366 (lire en ligne)
↑ Émile Lemoine, « Sur une généralisation des propriétés relatives au cercle de Brocard et au point de Lemoine », Nouvelles annales de mathématiques, vol. 3, n^o 4,‎ 1885, p. 201-223 (lire en ligne)
↑ Maurice d'Ocagne, « Note sur une ligne considérée dans le triangle rectiligne », Journal de mathématiques élémentaires,‎ 1880 (lire en ligne)
↑ Maurice d'Ocagne, « Sur un élément du triangle rectiligne ; symédiane », Nouvelles annales de mathématiques, 3^e série, vol. 2,‎ 1883, p. 450-464 (lire en ligne)
↑ Jean-Pierre Boudine, L'appel des maths, t. 2, Cassini, p. 145,165-166
↑ (en) Zhao Yufei, Three Lemmas in Geometry, 2010 (lire en ligne), p. 5
↑ (en) Michel Bataille, « Characterizing a Symmedian », Crux Mathematicorum, vol. 43, n^o 4,‎ avril 2017 (lire en ligne)

Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, (ISBN 978-2-916352-08-4)

Portail de la géométrie

[1] (en) Eric W. Weisstein, « Symmedian Point », sur MathWorld.

[2] Emile Lemoine, « Note sur un point remarquable du plan d’un triangle », Nouvelles annales de mathématiques, 2^e série, vol. 12,‎ 1873, p. 364-366 (lire en ligne)

[3] Émile Lemoine, « Sur une généralisation des propriétés relatives au cercle de Brocard et au point de Lemoine », Nouvelles annales de mathématiques, vol. 3, n^o 4,‎ 1885, p. 201-223 (lire en ligne)

[4] Maurice d'Ocagne, « Note sur une ligne considérée dans le triangle rectiligne », Journal de mathématiques élémentaires,‎ 1880 (lire en ligne)

[5] Maurice d'Ocagne, « Sur un élément du triangle rectiligne ; symédiane », Nouvelles annales de mathématiques, 3^e série, vol. 2,‎ 1883, p. 450-464 (lire en ligne)

[6] Jean-Pierre Boudine, L'appel des maths, t. 2, Cassini, p. 145,165-166

[7] (en) Zhao Yufei, Three Lemmas in Geometry, 2010 (lire en ligne), p. 5

[8] (en) Michel Bataille, « Characterizing a Symmedian », Crux Mathematicorum, vol. 43, n^o 4,‎ avril 2017 (lire en ligne)

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron