Barycentre (géométrie affine)

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En géométrie affine, le barycentre de plusieurs points affectés de coefficients est un point annulant une certaine égalité vectorielle. Le calcul de barycentre est l'outil fondamental de la géométrie affine, comme la combinaison linéaire est celui de la géométrie vectorielle. Il permet de caractériser les sous-espace affines, les applications affines et la convexité.

Dans cet article, la notion de barycentre est présentée dans le cadre d'un espace affine quelconque sur un corps quelconque. Une présentation plus élémentaire est exposée dans l'article Barycentre (géométrie élémentaire).

Géométrie affine[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soient \left(A_i\right)_{i=1...n}, n points d'un espace affine et soient \left(a_i\right)_{i=1... n}, n scalaires de somme non nulle, le barycentre des points \left(A_i\right)_{i=1... n} affectés des coefficients \left(a_i\right)_{i=1...n} est l'unique point G tel que

 \sum_{i=1}^n a_i\overrightarrow{GA_i}= \vec 0.

On trouve les notations suivantes pour le barycentre :

G = \operatorname{bar}\left((A_i, a_i)\right)_{i\in\{1 \ldots n\}}
\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)G = \sum_{i=1}^n a_i A_i

L'existence et l'unicité de ce point G, pour peu que la somme des coefficients soit non nulle, se prouve aisément en utilisant la relation de Chasles.

Propriétés immédiates[modifier | modifier le code]

Commutativité : On peut changer l'ordre des points sans changer la valeur du barycentre tant que les points conservent leur coefficient.

Homogénéité : On peut multiplier tous les coefficients par un même scalaire k non nul sans changer la valeur du barycentre. On privilégie alors souvent les coefficients dont la somme vaut 1.

Associativité et dissociativité: Soit k un entier compris entre 1 et n-1, si \scriptstyle\sum_{i=1}^k a_i \ne 0, \scriptstyle\sum_{i=k+1}^n a_i \ne 0 et \scriptstyle\sum_{i=1}^n a_i \ne 0 , on peut parler de G_1= {\rm bar}((A_i, a_i))_{i=1 ... k}, et de G_2= \mathrm{bar}((A_i, a_i))_{i=k+1...n}, et l'on a l'égalité suivante :

\operatorname{bar}\left((A_i, a_i)\right)_{i\in\{1 \ldots n\}}=\operatorname{bar}\left((G_1, \sum_{i=1}^k a_i),(G_2, \sum_{i=k+1}^n a_i)\right)

Cette propriété se généralise à un regroupement de p sous-familles de coefficients.

Coordonnées barycentriques[modifier | modifier le code]

Si l'espace affine E est associé à un espace vectoriel V de dimension n, et si \left(A_i\right)_{i=0...n} sont n+1 points de l'espace affine, on dit que ces n+1 points forment un repère barycentrique si les vecteurs \left(\overrightarrow{A_0A_i}\right)_{i=1...n} forment une base de V. On démontre, grâce à la relation de Chasles, que cette propriété est indépendante de l'ordre des points.

Si \left(A_i\right)_{i=0...n} forment un repère barycentrique de l'espace alors tout point M de cet espace peut être trouvé comme barycentre des \left(A_i\right)_{i=0...n}. La propriété d'homogénéité permet de dire que les coefficients \left(a_i\right)_{i=0...n} ne sont pas uniques (les multiplier par un scalaire k non nul, ne changera pas la position de M), on privilégie alors les coefficients \left(a_i\right)_{i=0...n} tels que leur somme vaut 1. Ils sont appelés coordonnées barycentriques de M.

Variété affine[modifier | modifier le code]

On appelle variété affine d'un espace affine E toute partie de E stable par prise de barycentre. On démontre que cette définition coïncide avec celle de sous-espace affine.

Le sous-espace affine engendré par une famille de n points \left(A_i\right)_{i=1...n}, est le plus petit ensemble contenant ces n points et stable par prise de barycentres.

Par exemple, le sous-espace affine engendré par deux points non confondus est une droite affine, et le sous-espace affine engendré par trois points non alignés est un plan affine.

Segments, ensemble convexe[modifier | modifier le code]

Soit E un espace affine sur R. Si A et B sont deux points distincts de E, l'ensemble des points M = \mathrm{bar}((A,k),(B,1-k))k est élément de [0;1], est une partie de la droite (AB) appelé segment [AB]. C'est aussi l'ensemble des points M = \mathrm{bar}((A,a),(B,b))a et b sont deux réels positifs ou nuls.

Un ensemble stable par prise de barycentre avec coefficients toujours positifs ou nuls est un ensemble convexe.

L'ensemble des combinaisons convexes des points \left(A_i\right)_{i=1...n}, c'est-à-dire de leurs barycentres à coefficients positifs ou nuls, est l'enveloppe convexe des points \left(A_i\right)_{i=1...n} .

Application affine[modifier | modifier le code]

Soit f une application de E_1 dans E_2 , on dit que f conserve le barycentre si pour tout point G = \mathrm{bar}(\left(A_i, a_i)\right)_{i=1...n}, on a f(G) = \mathrm{bar}(\left(f(A_i), a_i)\right)_{i=1...n}. La propriété d'associativité du barycentre permet de se limiter à vérifier la conservation pour tout barycentre de deux points.

On démontre que l'ensemble des applications de E_1 dans E_2 conservant le barycentre coïncide avec celui des applications affines de E_1 dans E_2.

Certaines applications affines s'expriment bien à l'aide du barycentre.

Exemples :

  • Soient A et B deux points, la transformation qui, au point M associe le point M' = \mathrm{bar}((B,1), (A,-1), (M,1)) est une translation, qui a pour vecteur \overrightarrow{AB}.
  • Soient C un point et k un scalaire non nul. La transformation qui au point M associe le point M'= \mathrm{bar}((C,1-k),(M,k)) est l'homothétie de centre C et rapport k.

Quelques usages des barycentres en mathématiques[modifier | modifier le code]

En géométrie affine, les barycentres facilitent grandement les problèmes d'alignement et de concours (trois points sont alignés dès que l'un des points est barycentre des deux autres) et permettent des démonstrations élégantes de théorèmes comme le théorème de Ménélaüs, le théorème de Céva ou les propriétés du quadrilatère complet. Il sert aussi à simplifier les fonctions de Leibniz.

La notion de barycentre est aussi fondamentale dans la construction des courbes de Bézier.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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