En géométrie euclidienne , le théorème de Stewart fournit une relation algébrique entre les distances mutuelles de quatre points dont trois sont alignés. Il est dû au mathématicien Matthew Stewart en 1746 [ 1] .
Étant donné un point
M
{\displaystyle M}
et une droite orientée comportant trois points
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
, la "relation de Stewart" s'écrit [ 2] , [ 3] , [ 4] , [ 5] :
M
A
2
⋅
B
C
¯
+
M
B
2
⋅
C
A
¯
+
M
C
2
⋅
A
B
¯
+
A
B
¯
⋅
B
C
¯
⋅
C
A
¯
=
0
{\displaystyle {MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}+{MC}^{2}\cdot {\overline {AB}}+{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}=0}
Si, par exemple,
B
{\displaystyle B}
se trouve entre
A
{\displaystyle A}
et
C
{\displaystyle C}
, on peut ôter les barres de mesure algébrique :
M
C
2
⋅
A
B
+
M
A
2
⋅
B
C
=
(
M
B
2
+
A
B
⋅
B
C
)
A
C
{\displaystyle {MC}^{2}\cdot {AB}+{MA}^{2}\cdot {BC}=({MB}^{2}+{AB}\cdot {BC})AC}
Cette démonstration repose sur le calcul de produits scalaires[ 3] .
Notons
H
{\displaystyle H}
le projeté de
M
{\displaystyle M}
sur la droite portant
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
.
En utilisant le produit scalaire , on obtient les deux égalités:
M
A
2
=
(
M
C
→
+
C
A
→
)
2
=
M
C
2
+
C
A
2
+
2
M
C
→
⋅
C
A
→
=
M
C
2
+
C
A
2
+
2
H
C
¯
⋅
C
A
¯
(
1
)
{\displaystyle {MA}^{2}=({\overrightarrow {MC}}+{\overrightarrow {CA}})^{2}=MC^{2}+CA^{2}+2{\overrightarrow {MC}}\cdot {\overrightarrow {CA}}=MC^{2}+CA^{2}+2{\overline {HC}}\cdot {\overline {CA}}\,(1)}
M
B
2
=
(
M
C
→
+
C
B
→
)
2
=
M
C
2
+
C
B
2
+
2
M
C
→
⋅
C
B
→
=
M
C
2
+
C
B
2
+
2
H
C
¯
⋅
C
B
¯
(
2
)
{\displaystyle {MB}^{2}=({\overrightarrow {MC}}+{\overrightarrow {CB}})^{2}=MC^{2}+CB^{2}+2{\overrightarrow {MC}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=MC^{2}+CB^{2}+2{\overline {HC}}\cdot {\overline {CB}}\,(2)}
En multipliant la première égalité par
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
et la deuxième par
C
A
¯
{\displaystyle {\overline {CA}}}
, puis, en en faisant la somme, on élimine
H
C
¯
{\displaystyle {\overline {HC}}}
:
M
A
2
⋅
B
C
¯
+
M
B
2
⋅
C
A
¯
=
M
C
2
(
B
C
¯
+
C
A
¯
)
+
C
A
¯
2
B
C
¯
+
C
B
¯
2
C
A
¯
{\displaystyle {MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}=MC^{2}({\overline {BC}}+{\overline {CA}})+{\overline {CA}}^{2}{\overline {BC}}+{\overline {CB}}^{2}{\overline {CA}}}
soit
M
A
2
⋅
B
C
¯
+
M
B
2
⋅
C
A
¯
=
M
C
2
⋅
B
A
¯
+
C
B
¯
⋅
C
A
¯
(
C
B
¯
−
C
A
¯
)
=
M
C
2
⋅
B
A
¯
+
C
B
¯
⋅
C
A
¯
⋅
A
B
¯
{\displaystyle {MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}=MC^{2}\cdot {\overline {BA}}+{\overline {CB}}\cdot {\overline {CA}}({\overline {CB}}-{\overline {CA}})=MC^{2}\cdot {\overline {BA}}+{\overline {CB}}\cdot {\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}
D'où la relation demandée.
Deuxième démonstration (fonctions de Leibniz) [ modifier | modifier le code ]
Montrons que la relation de coplanarité des vecteurs
M
A
→
,
M
B
→
,
M
C
→
{\displaystyle {\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MC}}}
s'écrit
B
C
¯
⋅
M
A
→
+
C
A
¯
⋅
M
B
→
+
A
B
¯
⋅
M
C
→
=
0
→
{\displaystyle {\overline {BC}}\cdot {\overrightarrow {MA}}+{\overline {CA}}\cdot {\overrightarrow {MB}}+{\overline {AB}}\cdot {\overrightarrow {MC}}={\overrightarrow {0}}}
. En effet la fonction
M
↦
B
C
¯
⋅
M
A
→
+
C
A
¯
⋅
M
B
→
+
A
B
¯
⋅
M
C
→
{\displaystyle M\mapsto {\overline {BC}}\cdot {\overrightarrow {MA}}+{\overline {CA}}\cdot {\overrightarrow {MB}}+{\overline {AB}}\cdot {\overrightarrow {MC}}}
est une fonction vectorielle de Leibniz dont les coefficients ont une somme nulle ; elle est donc constante. En faisant
M
=
A
{\displaystyle M=A}
, on obtient que la constante est nulle.
Dans ce cas, on sait que la fonction scalaire de Leibniz associée
M
↦
B
C
¯
⋅
M
A
2
+
C
A
¯
⋅
M
B
2
+
A
B
¯
⋅
M
C
2
{\displaystyle M\mapsto {\overline {BC}}\cdot {MA}^{2}+{\overline {CA}}\cdot {MB}^{2}+{\overline {AB}}\cdot {MC}^{2}}
est constante elle aussi. En faisant
M
=
A
{\displaystyle M=A}
, on obtient la valeur de cette constante, puis la relation de Stewart[ 6] .
Dans un repère orthonormé d'origine H , le premier vecteur de la base dirigeant la droite (ABC ) , les points ont pour coordonnées :
A
(
a
,
0
)
,
B
(
b
,
0
)
,
C
(
c
,
0
)
,
M
(
0
,
h
)
{\displaystyle A(a,0),B(b,0),C(c,0),M(0,h)}
[ 4] .
La relation de Stewart s'écrit alors
(
h
2
+
a
2
)
(
c
−
b
)
+
(
h
2
+
b
2
)
(
a
−
c
)
+
(
h
2
+
c
2
)
(
b
−
a
)
+
(
b
−
a
)
(
a
−
c
)
(
c
−
b
)
=
0
{\displaystyle (h^{2}+a^{2})(c-b)+(h^{2}+b^{2})(a-c)+(h^{2}+c^{2})(b-a)+(b-a)(a-c)(c-b)=0}
qui se démontre par développement.
Quatrième démonstration (volume du tétraèdre) [ modifier | modifier le code ]
Le carré du volume du tétraèdre
M
A
B
C
{\displaystyle MABC}
est égal, en utilisant le déterminant de Cayley-Menger , à[ 7] :
V
2
=
−
1
288
|
0
1
1
1
1
1
0
A
B
¯
2
A
C
¯
2
A
M
¯
2
1
A
B
¯
2
0
B
C
¯
2
B
M
¯
2
1
A
C
¯
2
B
C
¯
2
0
C
M
¯
2
1
A
M
¯
2
B
M
2
C
M
¯
2
0
|
.
{\displaystyle V^{2}=-{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&{\overline {AB}}^{2}&{\overline {AC}}^{2}&{\overline {AM}}^{2}\\1&{\overline {AB}}^{2}&0&{\overline {BC}}^{2}&{\overline {BM}}^{2}\\1&{\overline {AC}}^{2}&{\overline {BC}}^{2}&0&{\overline {CM}}^{2}\\1&{\overline {AM}}^{2}&{BM}^{2}&{\overline {CM}}^{2}&0\end{vmatrix}}.}
Si l'on remplace
A
C
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}}
par
A
B
¯
+
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BC}}}
, on obtient
V
2
=
1
/
144
(
M
A
2
⋅
B
C
¯
+
M
B
2
⋅
B
A
¯
+
M
B
2
⋅
C
B
¯
+
M
C
2
⋅
A
B
¯
+
B
C
¯
2
⋅
B
A
¯
+
A
B
¯
2
⋅
C
B
¯
)
2
{\displaystyle V^{2}=1/144(MA^{2}\cdot {\overline {BC}}+MB^{2}\cdot {\overline {BA}}+MB^{2}\cdot {\overline {CB}}+MC^{2}\cdot {\overline {AB}}+{\overline {BC}}^{2}\cdot {\overline {BA}}+{\overline {AB}}^{2}\cdot {\overline {CB}})^{2}}
, soit
V
2
=
1
/
144
(
M
A
2
⋅
B
C
¯
+
M
B
2
⋅
C
A
¯
+
M
C
2
⋅
A
B
¯
+
A
B
¯
⋅
B
C
¯
⋅
C
A
¯
)
2
{\displaystyle V^{2}=1/144({MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}+{MC}^{2}\cdot {\overline {AB}}+{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}})^{2}}
. Le volume étant nul, on obtient la relation de Stewart.
Théorème —
Soit d la longueur du segment [AD ] d'une cévienne d'un triangle ABC divisant le côté [BC ] en deux parties de longueurs x et y . On a alors la "relation de Stewart" :
a
⋅
(
x
y
+
d
2
)
=
x
⋅
b
2
+
y
⋅
c
2
{\displaystyle a\cdot (xy+d^{2})=x\cdot b^{2}+y\cdot c^{2}}
Écrite sous la forme
d
2
=
x
b
2
+
y
c
2
a
−
x
y
{\displaystyle d^{2}={\frac {xb^{2}+yc^{2}}{a}}-xy}
, elle permet d'obtenir la distance du sommet au pied de la cévienne .
Il s'agit d'une traduction de la relation ci-dessus.
On peut aussi la démontrer en écrivant que
cos
(
B
D
A
^
)
=
−
cos
(
C
D
A
)
^
{\displaystyle \cos({\widehat {BDA}})=-\cos({\widehat {CDA)}}}
exprimés par le théorème d'Al-Kashi [ 8] , [ 9] .
En effet, le pied D de la cévienne est le barycentre de B et C affectés des coefficients y et x . La fonction scalaire de Leibniz dans ce cas précis est
f
(
M
)
=
x
M
C
2
+
y
M
B
2
{\displaystyle f(M)=xMC^{2}+yMB^{2}}
avec
x
+
y
=
a
{\displaystyle x+y=a}
.
La réduction de la fonction scalaire de Leibniz en A en utilisant le barycentre D s'écrit :
f
(
A
)
=
f
(
X
)
+
a
A
X
2
.
{\displaystyle f(A)=f(X)+aAX^{2}.}
Or
f
(
A
)
=
x
b
2
+
y
c
2
{\displaystyle f(A)=xb^{2}+yc^{2}}
et
f
(
X
)
=
x
y
2
+
y
x
2
=
a
x
y
{\displaystyle f(X)=xy^{2}+yx^{2}=axy}
, d'où la relation.
Si la cévienne est une médiane ,
x
=
y
=
a
/
2
{\displaystyle x=y=a/2}
et l'on retrouve la formule de la médiane :
d
2
=
b
2
+
c
2
2
−
a
2
4
{\displaystyle d^{2}={\frac {b^{2}+c^{2}}{2}}-{a^{2} \over 4}}
.
Si la cévienne est une bissectrice , d'après le théorème de la bissectrice intérieure du triangle ,
x
=
a
c
b
+
c
,
y
=
a
b
b
+
c
{\displaystyle x={\frac {ac}{b+c}},y={\frac {ab}{b+c}}}
, et
d
2
=
4
b
c
(
p
−
a
)
p
(
b
+
c
)
2
{\displaystyle d^{2}={\frac {4bc(p-a)p}{(b+c)^{2}}}}
où p est le demi-périmètre [ 8] , [ 6] .
Si la cévienne est une hauteur , l'élimination de x et y entre la relation de Stewart
a
.
d
2
=
x
b
2
+
y
c
2
−
a
x
y
{\displaystyle a.d^{2}=xb^{2}+yc^{2}-axy}
, et les relations
c
2
=
d
2
+
x
2
{\displaystyle c^{2}=d^{2}+x^{2}}
et
c
2
=
d
2
+
x
2
{\displaystyle c^{2}=d^{2}+x^{2}}
permet d'obtenir la formule :
d
=
1
2
a
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
=
2
a
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
{\displaystyle d={\frac {1}{2a}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}={\frac {2}{a}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}
.
Sachant
d
=
2
S
/
a
{\displaystyle d=2S/a}
, on retrouve la formule de Héron donnant l'aire S du triangle.
d
2
=
p
(
p
−
a
)
{\displaystyle d^{2}=p(p-a)}
.
Avec les notations précédentes, on cherche la longueur de la cévienne lorsque les disques inscrits dans
A
B
D
{\displaystyle ABD}
et
A
D
C
{\displaystyle ADC}
ont même rayon.
La condition d'égalité des rayons s'écrit
x
(
b
+
d
)
=
y
(
c
+
d
)
{\displaystyle x(b+d)=y(c+d)}
et l'on obtient
d
2
=
p
(
p
−
a
)
{\displaystyle d^{2}=p(p-a)}
.
Le sangaku est mentionné sur une tablette datée de 1897 et localisée dans la préfecture de Chiba [ 11] .
La relation de Stewart est à la base de la démonstration de l'existence d'un troisième foyer pour un ovale de Descartes .
Plus précisément, l'ovale de Descartes d'équation :
b
M
F
1
+
a
M
F
2
=
c
F
1
F
2
(
1
)
{\displaystyle bMF_{1}+aMF_{2}=cF_{1}F_{2}\,\,(1)}
, avec
0
<
a
⩽
b
⩽
c
{\displaystyle 0<a\leqslant b\leqslant c}
,
a pour troisième foyer le barycentre
F
3
{\displaystyle F_{3}}
de
F
1
{\displaystyle F_{1}}
et
F
2
{\displaystyle F_{2}}
affectés des coefficients
b
2
−
c
2
{\displaystyle b^{2}-c^{2}}
et
c
2
−
a
2
{\displaystyle c^{2}-a^{2}}
, et les deux autres équations de l'ovale sont :
−
c
M
F
2
+
b
M
F
3
=
a
F
2
F
3
,
a
M
F
3
+
c
M
F
1
=
b
F
3
F
1
{\displaystyle -cMF_{2}+bMF_{3}=aF_{2}F_{3},\,\,aMF_{3}+cMF_{1}=bF_{3}F_{1}}
.
Schéma de la démonstration
Posant
d
=
F
1
F
2
{\displaystyle d=F_{1}F_{2}}
et
x
=
F
2
F
3
{\displaystyle x=F_{2}F_{3}}
, la relation de Stewart s'écrit
M
F
3
2
⋅
d
+
M
F
1
2
⋅
x
=
(
M
F
2
2
+
d
⋅
x
)
(
d
+
x
)
(
2
)
{\displaystyle {MF_{3}}^{2}\cdot d+{MF_{1}}^{2}\cdot x=({MF_{2}}^{2}+d\cdot x)(d+x)\,\,(2)}
.
En éliminant
M
F
2
{\displaystyle MF_{2}}
entre les relations (1) et (2), on obtient
M
F
3
2
{\displaystyle MF_{3}^{2}}
comme trinôme
P
{\displaystyle P}
du deuxième degré en
M
F
1
{\displaystyle MF_{1}}
; la recherche des valeurs de
x
{\displaystyle x}
pour lesquelles ce trinôme est un carré donne les possibilités
x
=
F
2
F
3
=
0
,
−
d
,
b
2
−
c
2
a
2
−
b
2
d
{\displaystyle x=F_{2}F_{3}=0,-d,{\frac {b^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}}}d}
; les deux premières solutions redonnent
F
1
{\displaystyle F_{1}}
et
F
2
{\displaystyle F_{2}}
, et la troisième donne bien pour
F
3
{\displaystyle F_{3}}
le barycentre de
F
1
{\displaystyle F_{1}}
et
F
2
{\displaystyle F_{2}}
affectés des coefficients
b
2
−
c
2
{\displaystyle b^{2}-c^{2}}
et
c
2
−
a
2
{\displaystyle c^{2}-a^{2}}
.
En prenant cette valeur de
x
{\displaystyle x}
, et en factorisant
M
F
3
2
−
P
{\displaystyle MF_{3}^{2}-P}
, on obtient l'équation de l'ovale de départ à partir des foyers
F
1
{\displaystyle F_{1}}
et
F
3
{\displaystyle F_{3}}
.
Soit
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
un quadrilatère convexe,
O
{\displaystyle O}
le point d'intersection des diagonales. On a la relation de Stewart pour le quadrilatère[ 8] :
A
B
2
⋅
O
C
⋅
O
D
+
B
C
2
⋅
O
D
⋅
O
A
+
C
D
2
⋅
O
A
⋅
O
B
+
D
A
2
⋅
O
B
⋅
O
C
=
A
C
⋅
B
D
(
O
A
⋅
O
C
+
O
B
⋅
O
D
)
{\displaystyle AB^{2}\cdot OC\cdot OD+BC^{2}\cdot OD\cdot OA+CD^{2}\cdot OA\cdot OB+DA^{2}\cdot OB\cdot OC=AC\cdot BD(OA\cdot OC+OB\cdot OD)}
Elle se démontre à partir de la formule d'Al-Kashi dans les triangles OAB, OBC, OCD, ODA .
Dans le cas où
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
est un parallélogramme, elle donne l'égalité du parallélogramme .
Le théorème de Holditch , qui en constitue une généralisation.
(en) Eric W. Weisstein , « Stewart's Theorem », sur MathWorld
↑ (en) Matthew Stewart, « Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics », Edinburgh: Sands, Murray and Cochran , 1746 , Proposition II (lire en ligne )
↑ F. Brachet et J. Dumarqué, Précis de géométrie : Compléments, Transformations, Coniques , Librairie Delagrave, 1939 , Révisions et compléments, chap. V (« Relations métriques ») .
↑ a et b C. Lebossé, C. Hémery, Géométrie, Classe de Mathématiques , Fernand Nathan, 1965 , p. 63, n° 85
↑ a et b Clément Thiry, Applications remarquables du théorème de Stewart et théorie du barycentre , Gand, Revue de l'instruction publique, 1891 , p. 6-7
↑ Georges Papelier, Exercices de géométrie moderne précédés de l'exposé élémentaire des principales théories. Géométrie dirigée. , vol. 1, Vuibert, 1947 (lire en ligne ) , p. 27-33
↑ a et b Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique , Ellipses, 2003 , p. 329,330
↑ Christoph Soland, « Géométrie plane : Une axiomatique centrée sur la distance. », Elemente der Mathematik , vol. 63, 2008 , p. 178 (lire en ligne )
↑ a b et c Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie , Ellipses, 2018 , p. 14, 361 et 425
↑ Jean-Pierre Boudine, L'appel des maths , t. 2, Cassini, p. 188, 234
↑ Lucienne Félix , Un aperçu des méthodes en géométrie élémentaire : deux textes de réflexions didactiques , IREM de Bordeaux, 1991 , p. 46
↑ Géry Huvent, « Deux cercles égaux dans un triangle. »
Description
Types
Points remarquables (Nombre de Kimberling )
Droites remarquables
Cercles remarquables
Triangles remarquables
Courbes remarquables
Théorèmes
Relations entre triangles
Résolution