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Théorème de Stewart

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En géométrie euclidienne, le théorème de Stewart fournit une relation algébrique entre les distances mutuelles de quatre points dont trois sont alignés. Il est dû au mathématicien Matthew Stewart en 1746 [1].

Étant donné un point et une droite orientée comportant trois points , la relation de Stewart s'écrit[2],[3],[4],[5]:

.

Si, par exemple, se trouve entre et , on peut ôter les barres de mesure algébrique :

.

Démonstrations

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Première démonstration (produit scalaire)

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Cette démonstration repose sur le calcul de produits scalaires[3].

Notons le projeté de sur la droite portant .

En utilisant le produit scalaire, on obtient les deux égalités:

En multipliant la première égalité par et la deuxième par , puis, en en faisant la somme, on élimine  :

soit

D'où la relation demandée.

Deuxième démonstration (fonctions de Leibniz)

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Montrons que la relation de coplanarité des vecteurs s'écrit

.

En effet la fonction est une fonction vectorielle de Leibniz dont les coefficients ont une somme nulle ; elle est donc constante. En faisant , on obtient que la constante est nulle.

Dans ce cas, on sait que la fonction scalaire de Leibniz associée est constante elle aussi. En faisant , on obtient la valeur de cette constante, puis la relation de Stewart[6].

Troisième démonstration (coordonnées)

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Dans un repère orthonormé d'origine H, le premier vecteur de la base dirigeant la droite (ABC) , les points ont pour coordonnées : [4].

La relation de Stewart s'écrit alors qui se démontre par développement.

Quatrième démonstration (volume du tétraèdre)

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Le carré du volume du tétraèdre est égal, en utilisant le déterminant de Cayley-Menger, à[7]:

Si l'on remplace par , on obtient , soit . Le volume étant nul, on obtient la relation de Stewart.

Application au triangle

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Théorème — 

Soit d la longueur du segment [AD] d'une cévienne d'un triangle ABC divisant le côté [BC] en deux parties de longueurs x et y. On a alors la "relation de Stewart" :

Écrite sous la forme , elle permet d'obtenir la distance du sommet au pied de la cévienne.

Démonstrations

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  • Il s'agit d'une traduction de la relation ci-dessus.
  • On peut aussi la démontrer en écrivant que exprimés par le théorème d'Al-Kashi [8],[9].

En effet, le pied D de la cévienne est le barycentre de B et C affectés des coefficients y et x. La fonction scalaire de Leibniz dans ce cas précis est avec . La réduction de la fonction scalaire de Leibniz en A en utilisant le barycentre D s'écrit : Or et , d'où la relation.

Cas particuliers

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Si la cévienne est une médiane, et l'on retrouve la formule de la médiane : .

Si la cévienne est une bissectrice, d'après le théorème de la bissectrice intérieure du triangle, , et p est le demi-périmètre [8],[6].

Si la cévienne est une hauteur, l'élimination de x et y entre la relation de Stewart , et les relations et permet d'obtenir la formule : .

Sachant , on retrouve la formule de Héron donnant l'aire S du triangle.

.

Application à un sangaku

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Avec les notations précédentes, on cherche la longueur de la cévienne lorsque les disques inscrits dans et ont même rayon.

La condition d'égalité des rayons s'écrit et l'on obtient .

Le sangaku est mentionné sur une tablette datée de 1897 et localisée dans la préfecture de Chiba[11].

Autre application

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La relation de Stewart est à la base de la démonstration de l'existence d'un troisième foyer pour un ovale de Descartes.

Plus précisément, l'ovale de Descartes d'équation : , avec ,

a pour troisième foyer le barycentre de et affectés des coefficients et , et les deux autres équations de l'ovale sont :

.

Cas du quadrilatère convexe

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Soit un quadrilatère convexe, le point d'intersection des diagonales. On a la relation de Stewart pour le quadrilatère[8]:

Elle se démontre à partir de la formule d'Al-Kashi dans les triangles OAB, OBC, OCD, ODA.

Dans le cas où est un parallélogramme, elle donne l'égalité du parallélogramme.

Le théorème de Holditch, qui en constitue une généralisation.

Lien externe

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(en) Eric W. Weisstein, « Stewart's Theorem », sur MathWorld

Références

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  1. (en) Matthew Stewart, « Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics », Edinburgh: Sands, Murray and Cochran,‎ , Proposition II (lire en ligne)
  2. F. Brachet et J. Dumarqué, Précis de géométrie : Compléments, Transformations, Coniques, Librairie Delagrave, , Révisions et compléments, chap. V (« Relations métriques »).
  3. a et b C. Lebossé et C. Hémery, Géométrie : Classe de mathématiques, Fernand Nathan, , p. 63, n° 85.
  4. a et b Clément Thiry, Applications remarquables du théorème de Stewart et théorie du barycentre, Gand, Revue de l'instruction publique, , p. 6-7.
  5. Georges Papelier, Exercices de géométrie moderne précédés de l'exposé élémentaire des principales théories : Géométrie dirigée, vol. 1, Vuibert, (lire en ligne Accès limité), p. 27-33.
  6. a et b Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, , p. 329,330
  7. Christoph Soland, « Géométrie plane : Une axiomatique centrée sur la distance. », Elemente der Mathematik, vol. 63,‎ , p. 178 (lire en ligne)
  8. a b et c Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, , p. 14, 361 et 425
  9. Jean-Pierre Boudine, L'appel des maths, t. 2, Cassini, p. 188, 234
  10. Lucienne Félix, Un aperçu des méthodes en géométrie élémentaire : deux textes de réflexions didactiques, IREM de Bordeaux, , p. 46
  11. Géry Huvent, « Deux cercles égaux dans un triangle. »