Théorème de Stewart

En géométrie euclidienne, le théorème de Stewart fournit une relation algébrique entre les distances mutuelles de quatre points dont trois sont alignés. Il est dû au mathématicien Matthew Stewart en 1746 ^[1].

Énoncé

Étant donné un point $M$ et une droite orientée comportant trois points $A,B,C$ , la relation de Stewart s'écrit^[2]^,^[3]^,^[4]^,^[5]:

{MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}+{MC}^{2}\cdot {\overline {AB}}+{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}=0

.

Si, par exemple, $B$ se trouve entre $A$ et $C$ , on peut ôter les barres de mesure algébrique :

{MC}^{2}\cdot {AB}+{MA}^{2}\cdot {BC}=({MB}^{2}+{AB}\cdot {BC})AC

.

Démonstrations

Première démonstration (produit scalaire)

Cette démonstration repose sur le calcul de produits scalaires^[3].

Notons $H$ le projeté de $M$ sur la droite portant $A,B,C$ .

En utilisant le produit scalaire, on obtient les deux égalités:

{MA}^{2}=({\overrightarrow {MC}}+{\overrightarrow {CA}})^{2}=MC^{2}+CA^{2}+2{\overrightarrow {MC}}\cdot {\overrightarrow {CA}}=MC^{2}+CA^{2}+2{\overline {HC}}\cdot {\overline {CA}}\,(1)

{MB}^{2}=({\overrightarrow {MC}}+{\overrightarrow {CB}})^{2}=MC^{2}+CB^{2}+2{\overrightarrow {MC}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=MC^{2}+CB^{2}+2{\overline {HC}}\cdot {\overline {CB}}\,(2)

En multipliant la première égalité par ${\overline {BC}}$ et la deuxième par ${\overline {CA}}$ , puis, en en faisant la somme, on élimine ${\overline {HC}}$ :

{MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}=MC^{2}({\overline {BC}}+{\overline {CA}})+{\overline {CA}}^{2}{\overline {BC}}+{\overline {CB}}^{2}{\overline {CA}}

soit

{MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}=MC^{2}\cdot {\overline {BA}}+{\overline {CB}}\cdot {\overline {CA}}({\overline {CB}}-{\overline {CA}})=MC^{2}\cdot {\overline {BA}}+{\overline {CB}}\cdot {\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}

D'où la relation demandée.

Deuxième démonstration (fonctions de Leibniz)

Montrons que la relation de coplanarité des vecteurs ${\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MC}}$ s'écrit

{\overline {BC}}\cdot {\overrightarrow {MA}}+{\overline {CA}}\cdot {\overrightarrow {MB}}+{\overline {AB}}\cdot {\overrightarrow {MC}}={\overrightarrow {0}}

.

En effet la fonction $M\mapsto {\overline {BC}}\cdot {\overrightarrow {MA}}+{\overline {CA}}\cdot {\overrightarrow {MB}}+{\overline {AB}}\cdot {\overrightarrow {MC}}$ est une fonction vectorielle de Leibniz dont les coefficients ont une somme nulle ; elle est donc constante. En faisant $M=A$ , on obtient que la constante est nulle.

Dans ce cas, on sait que la fonction scalaire de Leibniz associée $M\mapsto {\overline {BC}}\cdot {MA}^{2}+{\overline {CA}}\cdot {MB}^{2}+{\overline {AB}}\cdot {MC}^{2}$ est constante elle aussi. En faisant $M=A$ , on obtient la valeur de cette constante, puis la relation de Stewart^[6].

Troisième démonstration (coordonnées)

Dans un repère orthonormé d'origine $H$ , le premier vecteur de la base dirigeant la droite ( $ABC$ ) , les points ont pour coordonnées : $A(a,0),B(b,0),C(c,0),M(0,h)$ ^[4].

La relation de Stewart s'écrit alors $(h^{2}+a^{2})(c-b)+(h^{2}+b^{2})(a-c)+(h^{2}+c^{2})(b-a)+(b-a)(a-c)(c-b)=0$ qui se démontre par développement.

Quatrième démonstration (volume du tétraèdre)

Le carré du volume du tétraèdre $MABC$ est égal, en utilisant le déterminant de Cayley-Menger, à^[7]:

V^{2}=-{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&{\overline {AB}}^{2}&{\overline {AC}}^{2}&{\overline {AM}}^{2}\\1&{\overline {AB}}^{2}&0&{\overline {BC}}^{2}&{\overline {BM}}^{2}\\1&{\overline {AC}}^{2}&{\overline {BC}}^{2}&0&{\overline {CM}}^{2}\\1&{\overline {AM}}^{2}&{BM}^{2}&{\overline {CM}}^{2}&0\end{vmatrix}}.

Si l'on remplace ${\overline {AC}}$ par ${\overline {AB}}+{\overline {BC}}$ , on obtient $V^{2}=1/144(MA^{2}\cdot {\overline {BC}}+MB^{2}\cdot {\overline {BA}}+MB^{2}\cdot {\overline {CB}}+MC^{2}\cdot {\overline {AB}}+{\overline {BC}}^{2}\cdot {\overline {BA}}+{\overline {AB}}^{2}\cdot {\overline {CB}})^{2}$ , soit $V^{2}=1/144({MA}^{2}\cdot {\overline {BC}}+{MB}^{2}\cdot {\overline {CA}}+{MC}^{2}\cdot {\overline {AB}}+{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}})^{2}$ . Le volume étant nul, on obtient la relation de Stewart.

Application au triangle

Énoncé

Théorème —

Soit $d$ la longueur du segment [ $AD$ ] d'une cévienne d'un triangle $ABC$ divisant le côté [ $BC$ ] en deux parties de longueurs $x$ et $y$ . On a alors la "relation de Stewart" :

a\cdot (xy+d^{2})=x\cdot b^{2}+y\cdot c^{2}

Écrite sous la forme $d^{2}={\frac {xb^{2}+yc^{2}}{a}}-xy$ , elle permet d'obtenir la distance du sommet au pied de la cévienne.

Démonstrations

Il s'agit d'une traduction de la relation ci-dessus.

On peut aussi la démontrer en écrivant que $\cos({\widehat {BDA}})=-\cos({\widehat {CDA)}}$ exprimés par le théorème d'Al-Kashi ^[8]^,^[9].

On peut utiliser la formule de réduction de la fonction scalaire de Leibniz pour un barycentre de deux points^[10].

En effet, le pied $D$ de la cévienne est le barycentre de $B$ et $C$ affectés des coefficients $y$ et $x$ . La fonction scalaire de Leibniz dans ce cas précis est $f(M)=xMC^{2}+yMB^{2}$ avec $x+y=a$ . La réduction de la fonction scalaire de Leibniz en $A$ en utilisant le barycentre $D$ s'écrit : $f(A)=f(X)+aAX^{2}.$ Or $f(A)=xb^{2}+yc^{2}$ et $f(X)=xy^{2}+yx^{2}=axy$ , d'où la relation.

Cas particuliers

Si la cévienne est une médiane, $x=y=a/2$ et l'on retrouve la formule de la médiane : $d^{2}={\frac {b^{2}+c^{2}}{2}}-{a^{2} \over 4}$ .

Si la cévienne est une bissectrice, d'après le théorème de la bissectrice intérieure du triangle, $x={\frac {ac}{b+c}},y={\frac {ab}{b+c}}$ , et $d^{2}={\frac {4bc(p-a)p}{(b+c)^{2}}}$ où $p$ est le demi-périmètre ^[8]^,^[6].

Si la cévienne est une hauteur, l'élimination de $x$ et $y$ entre la relation de Stewart $a.d^{2}=xb^{2}+yc^{2}-axy$ , et les relations $c^{2}=d^{2}+x^{2}$ et $c^{2}=d^{2}+x^{2}$ permet d'obtenir la formule : $d={\frac {1}{2a}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}={\frac {2}{a}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ .

Sachant $d=2S/a$ , on retrouve la formule de Héron donnant l'aire $S$ du triangle.

Application à un sangaku

Avec les notations précédentes, on cherche la longueur de la cévienne lorsque les disques inscrits dans $ABD$ et $ADC$ ont même rayon.

La condition d'égalité des rayons s'écrit $x(b+d)=y(c+d)$ et l'on obtient $d^{2}=p(p-a)$ .

Le sangaku est mentionné sur une tablette datée de 1897 et localisée dans la préfecture de Chiba^[11].

Autre application

La relation de Stewart est à la base de la démonstration de l'existence d'un troisième foyer pour un ovale de Descartes.

Plus précisément, l'ovale de Descartes d'équation : $bMF_{1}+aMF_{2}=cF_{1}F_{2}\,\,(1)$ , avec $0<a\leqslant b\leqslant c$ ,

a pour troisième foyer le barycentre $F_{3}$ de $F_{1}$ et $F_{2}$ affectés des coefficients $b^{2}-c^{2}$ et $c^{2}-a^{2}$ , et les deux autres équations de l'ovale sont :

$-cMF_{2}+bMF_{3}=aF_{2}F_{3},\,\,aMF_{3}+cMF_{1}=bF_{3}F_{1}$ .

Schéma de la démonstration

Posant $d=F_{1}F_{2}$ et $x=F_{2}F_{3}$ , la relation de Stewart s'écrit ${MF_{3}}^{2}\cdot d+{MF_{1}}^{2}\cdot x=({MF_{2}}^{2}+d\cdot x)(d+x)\,\,(2)$ .

En éliminant $MF_{2}$ entre les relations (1) et (2), on obtient $MF_{3}^{2}$ comme trinôme $P$ du deuxième degré en $MF_{1}$ ; la recherche des valeurs de $x$ pour lesquelles ce trinôme est un carré donne les possibilités $x=F_{2}F_{3}=0,-d,{\frac {b^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}}}d$ ; les deux premières solutions redonnent $F_{1}$ et $F_{2}$ , et la troisième donne bien pour $F_{3}$ le barycentre de $F_{1}$ et $F_{2}$ affectés des coefficients $b^{2}-c^{2}$ et $c^{2}-a^{2}$ .

En prenant cette valeur de $x$ , et en factorisant $MF_{3}^{2}-P$ , on obtient l'équation de l'ovale de départ à partir des foyers $F_{1}$ et $F_{3}$ .

Cas du quadrilatère convexe

Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe, $O$ le point d'intersection des diagonales. On a la relation de Stewart pour le quadrilatère^[8]:

AB^{2}\cdot OC\cdot OD+BC^{2}\cdot OD\cdot OA+CD^{2}\cdot OA\cdot OB+DA^{2}\cdot OB\cdot OC=AC\cdot BD(OA\cdot OC+OB\cdot OD)

Elle se démontre à partir de la formule d'Al-Kashi dans les triangles $OAB, OBC, OCD, ODA$ .

Dans le cas où $ABCD$ est un parallélogramme, elle donne l'égalité du parallélogramme.

Voir aussi

Le théorème de Holditch, qui en constitue une généralisation.

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Stewart's Theorem », sur MathWorld

Références

↑ (en) Matthew Stewart, « Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics », Edinburgh: Sands, Murray and Cochran,‎ 1746, Proposition II (lire en ligne)
↑ F. Brachet et J. Dumarqué, Précis de géométrie : Compléments, Transformations, Coniques, Librairie Delagrave, 1939, Révisions et compléments, chap. V (« Relations métriques »).
↑ ^{a et b} C. Lebossé et C. Hémery, Géométrie : Classe de mathématiques, Fernand Nathan, 1965, p. 63, n° 85.
↑ ^{a et b} Clément Thiry, Applications remarquables du théorème de Stewart et théorie du barycentre, Gand, Revue de l'instruction publique, 1891, p. 6-7.
↑ Georges Papelier, Exercices de géométrie moderne précédés de l'exposé élémentaire des principales théories : Géométrie dirigée, vol. 1, Vuibert, 1947 (lire en ligne ), p. 27-33.
↑ ^{a et b} Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 329,330
↑ Christoph Soland, « Géométrie plane : Une axiomatique centrée sur la distance. », Elemente der Mathematik, vol. 63,‎ 2008, p. 178 (lire en ligne)
↑ ^{a b et c} Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, 2018, p. 14, 361 et 425
↑ Jean-Pierre Boudine, L'appel des maths, t. 2, Cassini, p. 188, 234
↑ Lucienne Félix, Un aperçu des méthodes en géométrie élémentaire : deux textes de réflexions didactiques, IREM de Bordeaux, 1991, p. 46
↑ Géry Huvent, « Deux cercles égaux dans un triangle. »

Portail de la géométrie

[1] (en) Matthew Stewart, « Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics », Edinburgh: Sands, Murray and Cochran,‎ 1746, Proposition II (lire en ligne)

[2] F. Brachet et J. Dumarqué, Précis de géométrie : Compléments, Transformations, Coniques, Librairie Delagrave, 1939, Révisions et compléments, chap. V (« Relations métriques »).

[:1-3] {a et b} C. Lebossé et C. Hémery, Géométrie : Classe de mathématiques, Fernand Nathan, 1965, p. 63, n° 85.

[:2-4] {a et b} Clément Thiry, Applications remarquables du théorème de Stewart et théorie du barycentre, Gand, Revue de l'instruction publique, 1891, p. 6-7.

[5] Georges Papelier, Exercices de géométrie moderne précédés de l'exposé élémentaire des principales théories : Géométrie dirigée, vol. 1, Vuibert, 1947 (lire en ligne ), p. 27-33.

[:02-6] {a et b} Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 329,330

[7] Christoph Soland, « Géométrie plane : Une axiomatique centrée sur la distance. », Elemente der Mathematik, vol. 63,‎ 2008, p. 178 (lire en ligne)

[:0-8] {a b et c} Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, 2018, p. 14, 361 et 425

[9] Jean-Pierre Boudine, L'appel des maths, t. 2, Cassini, p. 188, 234

[10] Lucienne Félix, Un aperçu des méthodes en géométrie élémentaire : deux textes de réflexions didactiques, IREM de Bordeaux, 1991, p. 46

[11] Géry Huvent, « Deux cercles égaux dans un triangle. »

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron