Théorème de Holditch

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En géométrie plane, le théorème de Holditch affirme que si une corde de longueur fixe glisse le long d'une courbe fermée convexe, alors le domaine de Holditch délimité par la courbe de départ et le lieu géométrique tracé par un point de la corde situé à une distance d'une extrémité et de l'autre (la courbe de Holditch, supposée sans point double) a pour aire la valeur remarquable , indépendante à la fois de la forme et de la longueur de la courbe de départ.

En particulier, si le point traceur est situé en milieu de corde, l'aire du domaine de Holditch est égale à l'aire du disque de diamètre la corde.

Le théorème a été publié en 1858 [1] par le révérend Hamnet Holditch, président du Caius College, à Cambridge.

Pour Clifford Pickover, ce théorème fait partie des 250 évènements marquants de l'histoire des mathématiques[2].

Illustration[modifier | modifier le code]

Premières applications[modifier | modifier le code]

Aire d'une couronne[modifier | modifier le code]

Holditchdisque.gif

L’aire d’une couronne circulaire dont on connait la longueur d’une corde tangente au cercle intérieur vaut , ceci quel que soit le rayon du cercle extérieur.

Aire de l'ellipse[modifier | modifier le code]

Si la courbe de départ est un carré de côté (voir l'illustration ci-dessus), d'après la construction de l'ellipse par la méthode de la bande de papier, la courbe de Holditch est formée de 4 quarts d'ellipses de demi-axes et . Le domaine de Holditch est donc formé de 4 quarts de domaines elliptiques ; par le théorème de Holditch, on retrouve bien la formule classique de l'aire de l'ellipse.

Généralisation de R. Estève[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Une droite orientée se déplace dans le plan en revenant à son point de départ en ayant tourné fois sur elle-même ( algébrique, suivant le sens de rotation). Trois points fixes sur cette droite décrivent trois courbes fermées, supposées toujours simples, mais non forcément convexes, , , . On note les aires algébriques (positives en cas de parcours dans le sens trigonométrique, négatives sinon) des domaines délimités par les courbes . On a alors la relation de Holditch générale[3],[4] :

.

Posant et , la relation s'écrit aussi .

On retrouve bien le théorème de Holditch dans le cas où les courbes et sont identiques et . La relation précédente s'écrit alors en effet , ce qui donne bien la relation de Holditch.

Démonstration tirée de [3][modifier | modifier le code]

On suppose ici les fonctions de classe par morceaux.

Un repère polaire étant choisi, désignons par l'angle entre et la droite orientée .

Posant , et les coordonnées de , les coordonnées de sont , celles de sont .

On obtient , d'où .

Le mouvement s'effectuant entre et , on obtient , ce qui donne , soit .

Une élégante démonstration vectorielle se trouve dans [5].

Applications[modifier | modifier le code]

Aire de l'ellipse[modifier | modifier le code]

Lorsque les points et décrivent deux segments en croix, le point décrit l'ellipse de paramètres et (voir animation ci-dessus). L'ellipse est parcourue dans le sens trigonométrique donc l'aire est positive, mais le segment tourne dans l'autre sens, donc . Les deux autres aires sont nulles, on retrouve .

Relation de Stewart[modifier | modifier le code]

On fait tourner la droite d'un tour autour d'un point du plan ; les courbes sont des cercles de centre , et la relation générale de Holditch divisée par donne celle de Stewart : .

Théorème de Mamikon dans un cas particulier[modifier | modifier le code]

L'aire colorée vaut est la longueur du segment.


Enoncé[modifier | modifier le code]

L'aire balayée par un segment de longueur constante restant tangent en à la courbe fermée simple décrite par vaut .

Le théorème de Mamikon proprement dit s'occupe du cas plus général où le segment n'est plus forcément de longueur constante et la courbe quelconque.

Notons que Holditch utilise cette propriété, qu'il doit considérer comme évidente, dans sa démonstration [4],[1].

Démonstration[modifier | modifier le code]

On part de la relation de Holditch en posant et  ; on obtient alors  ; si on suppose que décrit la même courbe que et comme car on ne fait qu'un tour, on obtient . Si maintenant l'on fait tendre vers , alors tend vers en restant sur la courbe décrite par , et le segment devient tangent à cette courbe ; on obtient , ce que nous voulions.

Application à la tractrice[modifier | modifier le code]

Tractriceanimee.gif

La courbe décrite par le point est une courbe équitangentielle de celle décrite par . Lorsqu'on impose que cette dernière soit rectiligne, la courbe de départ est la tractrice. Pour obtenir une courbe "fermée" on ajoute la symétrique de la tractrice par rapport à son asymptote et l'aire ainsi formée vaut d'après ce qui précède. L'aire entre la tractrice et son asymptote vaut donc .

Aire d'une épitrochoïde ou d'une hypotrochoïde[modifier | modifier le code]

Holditchtrocho.png

Un disque de rayon roule extérieurement, dans le sens trigonométrique, sur un disque de rayon  ; le segment considéré ici est un segment lié au disque roulant centré sur le centre de ce disque et de longueur , et on prend , de sorte que le point est le centre du disque mobile. Il est classique que le disque effectue alors tours autour du disque fixe pour revenir à son point de départ. De plus les points et décrivent deux épitrochoïdes identiques à rotation près, donc on peut poser .

La relation générale de Holditch s'écrit donc , ce qui donne .

De la même façon pour une hypotrochoïde, on obtient : .

Ces formules permettent d'obtenir l'aire de la cardioïde ou de l'astroïde par exemple.

Aire d'une arche de trochoïde[modifier | modifier le code]

Cette fois le disque roule sur une droite. Après avoir effectué un tour on le ramène au point de départ par mouvement rectiligne. Tous raisonnements faits, la relation de Holditch donne est l'aire d'une arche limitée par la base. On obtient . Le cas donne l'aire de l'arche de cycloïde.

Aire de courbes associées au système bielle-manivelle[modifier | modifier le code]

Dans cet exemple, le point traceur est situé au quart de la bielle, donc l'aire délimitée par la courbe rouge vaut un quart de celle du disque.

Ici le point décrit un cercle de rayon et le point a un mouvement rectiligne. Le segment n'effectue pas de tour sur lui-même, donc et l'aire est nulle. On obtient  ; il est remarquable que cette aire ne dépend que de la dimension du cercle et de la position du point traceur sur la bielle, pas de la longueur de celle-ci.

Voir à courbe de la bielle de Bérard.

Cas où la droite (ABC) passe par un point fixe O ; aires de conchoïdes[modifier | modifier le code]

D'une part, la relation de Holditch se démontre simplement à partir de celle de Stewart dans ce cas :

D'autre part, les trois courbes décrites par sont des conchoïdes de pôle les unes par rapport aux autres.

En particulier si , Les courbes et sont des conchoïdes de de modules respectifs et , et la relation de Holditch s'écrit : .

Dans les exemples ci-dessous, est un cercle de rayon .

Dans la première illustration ci-dessus où le pôle est à l'extérieur du cercle , car la droite n'effectue pas de tour sur elle-même et est parcouru en sens contraire du trigonométrique.

Dans la deuxième illustration où le pôle est à l'intérieur du cercle, car la droite effectue un tour et sont parcourues dans le sens trigonométrique.

Dans la troisième illustration, le pôle est sur le cercle, et les deux courbes sont identiques, mais le cercle est parcouru deux fois quand la droite fait un tour. On obtient donc . La conchoïde est dans ce cas un limaçon de Pascal.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Holditch's theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) H. Holditch, « Geometrical theorem », The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics,‎ , p. 38 (lire en ligne)
  2. (en) Clifford Pickover, Le beau livre des maths, Paris, Dunod, , p. 250
  3. a et b R. Estève, « Sur la formule d'Holditch et les applications qu'on peut en déduire », Nouvelles annales de mathématiques,‎ (lire en ligne)
  4. a et b (en) A. Broman, « "A fresh look at a long-forgotten theorem", », Mathematics Magazine 54(3),‎ , p. 99–108 (lire en ligne)
  5. Arkadiusz Ploski, « Sur l'aire balayée par un segment mobile », (consulté le 21 novembre 2019)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]