Covariant et contravariant (algèbre linéaire)

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En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base. Ces grandeurs sont dites covariantes lorsqu'elles varient comme les vecteurs de la base, et contravariantes lorsqu'elles varient de façon contraire.

La notion est étroitement liée au concept de dualité : les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.

En géométrie différentielle, la considération des espaces tangents permet d'étendre les deux concepts aux familles de fonctions définies sur les variétés différentielles.

La manipulation de grandeurs covariantes et contravariantes est facilitée par la convention de sommation d'Einstein, qui sera largement utilisée dans cet article.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un espace vectoriel de dimension finie , ainsi que deux bases et telles que le changement de base de vers s'écrit:

Soit une famille de fonctions chacune de vers un espace vectoriel de même corps que .

Les familles de vecteurs et sont alors notées respectivement et .

est dite covariante lorsque

L'indice est alors noté en bas et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:

est dite contravariante lorsque

L'indice est alors noté en haut et la convention d'Enstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit:

Par un léger abus de langage, les termes covariant et contravariant sont aussi appliqués aux familles de vecteurs et , la dépendance par rapport au choix de la base étant sous-entendue.

Exemples[modifier | modifier le code]

Décomposition dans une base[modifier | modifier le code]

Théorème et définition —  Les coefficients de l'unique décomposition d'un vecteur dans une base forment une famille contravariante de scalaires appelés coordonnées contravariantes, qui sont donc notés avec un indice haut.

Produits scalaires dans une base[modifier | modifier le code]

Théorème et définition — Les produits scalaires d'un vecteur par les vecteurs d'une base constituent une famille covariante de scalaires appelés coordonnées covariantes, qui sont donc notés avec un indice bas.

Dérivées directionnelles[modifier | modifier le code]

En analyse vectorielle, il est possible de définir l'opérateur de dérivation directionnelle selon une direction ainsi:

Théorème — Les opérateurs de dérivation directionnelle selon les directions définies par les vecteurs d'une base forment une famille covariante d'opérateurs, qui sont donc notés avec un indice bas.

est parfois noté .

Propriétés[modifier | modifier le code]

Lien avec les bases duales[modifier | modifier le code]

Théorème — Les coordonnées covariantes dans une base sont les coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement.

C'est-à-dire:

Produit contracté[modifier | modifier le code]

Théorème et définition —  Soient et deux familles respectivement contravariante et covariante, à valeurs dans une algèbre associative. L'expression

ne dépend pas du choix de la base utilisée, et est appelée produit contracté.

Extension en géométrie différentielle[modifier | modifier le code]

En géométrie différentielle, les espaces considérés, c'est-à-dire les variétés différentielles, n'ont pas de structure d'espace vectoriel et à ce titre les concepts de covariance et de contravariance ne sont pas directement applicables. Cependant, les variétés différentielles sont, localement, assimilables à des espaces vectoriels à travers les espaces tangents. Des correspondances naturelles permettent donc de définir les notions vues plus haut non plus par rapport à un changement de base, mais plutôt par rapport à un changement de coordonnées .

Localement, ces coordonnées varient selon les différentielles:

Ces coordonnées différentielles sont alors contravariantes, par analogie avec les coordonnées vues plus haut.

Dès lors, lorsqu'un ensemble de fonctions varie comme les coordonnées, c'est-à-dire lorsque

alors est dit contravariant "pour" (ou "selon") l'indice (puisqu'il varie comme les coordonnées contravariantes).

Lorsqu'un ensemble varie de façon contraire, c'est-à-dire lorsque

ou ,


alors est dit covariant "pour" (ou "selon") l'indice (il varie comme les vecteurs tangents).

peut très bien être covariant pour certains indices, et contravariant pour d'autres. La transformation la plus générale s'écrit alors:

Ceci constitue une définition simplifiée du concept de tenseur.

Certains auteurs, tels que Sean M. Carroll (cf. bibliographie), préfèrent poser le symbole prime sur les indices et non sur le tenseur. Ils notent ainsi:

Autres usages du vocable[modifier | modifier le code]

Les concepts de covariance et contravariance se retrouvent dans d'autres domaines, comme en informatique, notamment concernant le typage des données. Le lien entre ces différents usages traduit une structure commune plus abstraite qui relève essentiellement de la théorie des catégories.


Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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