Produit tensoriel de deux applications linéaires

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Le produit tensoriel de deux applications linéaires est une construction qui à deux applications linéaires entre A-modules, u de E1 dans F1 et v de E2 dans F2, associe une application linéaire uv entre produits tensoriels, de E1AE2 dans F1AF2.

Définition[modifier | modifier le code]

On suppose dans cette partie que l'anneau A est commutatif. Avec les notations de l'introduction, l'application

est A-bilinéaire. D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une unique application linéaire telle que

De plus, l'application de l'espace dans le module est bilinéaire ; il existe donc une application linéaire canonique

telle que

pour toutes applications A-linéaires , .

L'application de dans s'appelle le produit tensoriel de u et v, et il se note dans la pratique uv. Attention, cette notation est abusive, car elle peut désigner deux objets de nature différente :

  • l'élément du produit tensoriel (qui n'est pas une application linéaire),
  • son image par ψ dans (l'application A-linéaire ).

D'autant plus que ψ n'est pas toujours un isomorphisme, si bien qu'il est impossible d'identifier les deux « uv ».

Néanmoins, lorsque E1 et E2 sont des modules libres de rang fini (par exemple des espaces vectoriels de dimension finie), ψ est un isomorphisme, et cela a bien un sens de confondre les deux notations uv. En particulier, ψ fournit, sous cette hypothèse, des isomorphismes canoniques de E1*AE2* dans (E1AE2)* et de E1*⊗AF2 dans HomA(E1, F2).

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si sont six modules, et si on se donne des applications linéaires , , alors
  • Si est un isomorphisme de sur et est l'isomorphisme réciproque, alors est inversible et son inverse est .