Tenseur de Levi-Civita

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Dans un espace euclidien orienté de dimension N, le tenseur de Levi-Civita – ou tenseur dualiseur – est le tenseur dont les coordonnées dans une base orthonormale directe sont données par le symbole de Levi-Civita d'ordre N . En effet, le symbole de Levi-Civita d'ordre N \epsilon_{i_1 \ldots i_N} ou \epsilon^{i_1 \ldots i_N} (aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique) n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par 2^N lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

Tenseur dualiseur[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Dans un espace euclidien orienté il existe une forme volume canonique, notée ici \tilde{\epsilon}
, définie comme l'unique forme volume telle que \tilde{\epsilon}(B)=1 pour une (et donc pour toute) base orthonormale directe B.

Le tenseur \tilde{\epsilon} est aussi appelé tenseur de Levi-Civita ou encore tenseur dualiseur.


Coordonnées covariantes et contravariantes[modifier | modifier le code]

Dans une base B quelconque, on note (g_{ij}) la matrice du tenseur métrique et (g^{ij}) sa matrice inverse. Le déterminant g=\det\nolimits_{B}(g_{ij}) peut s'exprimer à l'aide du symbole de Levi-Civita.

g_{i_1 j_1} \ldots g_{i_N j_N}\epsilon^{j_1 \ldots j_N}=g\epsilon_{i_1 \ldots i_N}

Les coordonnées covariantes et contravariantes du tenseur de Lev-Civita vérifient les relations

*_{i_1 \ldots i_N} = g_{i_1 j_1} \ldots g_{i_N j_N}*^{j_1 \ldots j_N}

et

*^{i_1 \ldots i_N} = g^{i_1 j_1} \ldots g^{i_N j_N}*_{j_1 \ldots j_N}


On en déduit, dans une base directe quelconque, les relations

*_{i_1 \ldots i_N} = \sqrt{g} \epsilon_{i_1 \ldots i_N}

et

*^{i_1 \ldots i_N} = \frac{1}{\sqrt{g}}\epsilon^{i_1 \ldots i_N}

Puisque g=1 dans une base orthonormale, on retrouve ce qui est dit en introduction.

Dans une base rétrograde (ou indirecte), l'expression des coordonnées à l'aide du symbole de Levi-Civita est légèrement modifiée : il faut remplacer \sqrt{g} par -\sqrt{g}.


Cas des espaces pseudo-euclidiens[modifier | modifier le code]

Dans un espace pseudo-euclidien le déterminant du tenseur métrique n'est pas nécessairement positif. Par exemple dans le cas de l'espace de Minkowski ([l'espace-temps quadridimensionnel de la relativité restreinte), le déterminant du tenseur métrique est négatif.

Les relations précédentes peuvent s'écrire, dans une base directe quelconque, sous une forme valable quel que soit le signe de g

*_{i_1 \ldots i_N} = \sqrt{|g|} \epsilon_{i_1 \ldots i_N}

et

*^{i_1 \ldots i_N} = \frac{\sqrt{|g|}}{g}\epsilon^{i_1 \ldots i_N}

La remarque concernant les bases rétrogrades est toujours valable.


Propriétés du tenseur dualiseur[modifier | modifier le code]

Produit de tenseurs dualiseurs[modifier | modifier le code]

Les formules suivantes découlent directement des formules obtenues avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole \delta^i_j est le symbole de Kronecker, représentant le tenseur unité.

Résultat d'ordre 2[modifier | modifier le code]

*^{k \; i_2\ldots i_N}*_{l \; i_2 \ldots i_N} = \left(N-1\right) ! \times \delta^k_l

Résultat d'ordre 4[modifier | modifier le code]

*^{k m \; i_3\ldots i_N}*_{l n \; i_3 \ldots i_N} = \left(N-2\right) ! \times
\left(\delta^k_l \delta^m_n - \delta^k_n \delta^m_l\right)

Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur[modifier | modifier le code]

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :

D_j \left(*^{i_1 i_2 \ldots i_N}\right) = 0.

Définition de tenseurs duaux au sens de Hodge[modifier | modifier le code]

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre M dans un espace de dimension N définit un tenseur d'ordre N-M, son dual au sens de Hodge.

\left[* a\right]^{i_1 i_2 \ldots i_{N-M}} = \frac{1}{M !} *^{i_1 i_2 \ldots i_N} a_{i_{N-M+1} \ldots i_N}

Le produit met ici arbitrairement en jeu les M derniers indices du tenseur dualiseur. On aurait aussi bien pu prendre les M premiers indices. Les deux conventions différents d'un signe - dans certains cas.

Tenseurs duaux en dimension 3[modifier | modifier le code]

Un vecteur b^k possède un tenseur antisymétrique dual

\left[* b\right]_{ij} = *_{ijk} b^k.

Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique a^{ij} est un vecteur

\left[*a\right]^i = \frac{1}{2} \times *^{ijk} a_{jk}.

Le dual du dual est le vecteur ou le tenseur antisymétrique lui-même. En effet, on a pour un vecteur

\left[**b\right]^i = \frac{1}{2} *^{ijk} \left[*b\right]_{jk}
= \frac{1}{2} *^{ijk} *_{jkl} b^l = \delta^i_l b^l = b^i

et pour un tenseur antisymétrique

\left[**a\right]^{ij} = \frac{1}{2} *^{ijk} \left[*a\right]_{k}
= \frac{1}{2} *^{ijk} *_{klm} a^{lm} = \frac{1}{2}\left(\delta^{ij}_{lm} - \delta^{ij}_{ml}\right) a^{lm} = a^{ij}

Tenseur duaux en dimension 4[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]