Tenseur d'Einstein

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En géométrie différentielle, le tenseur d'Einstein, ainsi dénommé en l'honneur d'Albert Einstein, est utilisé pour exprimer la courbure d'une variété pseudo-riemannienne. En relativité générale, il apparaît dans l'équation du champ d'Einstein pour décrire comment le champ gravitationnel est affecté par la présence de matière.

Histoire[modifier | modifier le code]

L'éponyme du tenseur d'Einstein[1],[2],[3],[N 1] est le physicien Albert Einstein (-)[5] qui l'a construit[6] au cours de l'élaboration de la relativité générale. L'historien des sciences néerlandais Jeroen van Dongen présente le tenseur comme la réponse d'Einstein à la question de savoir :

« Quelle est l'expression appropriée de ?μν — formée à partir de la métrique et de ses dérivés, premières et secondes — qui entre dans une équation du champ de forme :

?μν = κTμν,

avec, au membre de droite, le tenseur énergie-impulsion Tμν de la matière comme terme source ? »[7]

Le tenseur d'Einstein étant un tenseur de courbure, il est aussi connu comme le tenseur de courbure d'Einstein[8],[9],[N 2] ; et, Einstein l'ayant construit avec le tenseur (de courbure) de Ricci, il est aussi connu comme le tenseur (de courbure) de Ricci-Einstein[10],[N 3].

Notations[modifier | modifier le code]

À la suite d'Einstein[12], le tenseur est usuellement noté G. Mais, comme il n'existe pas de notation normalisée, les notations D, E[13] ou S[14],[15] peuvent se rencontrer[16].

Formule du tenseur d’Einstein en deux dimensions[modifier | modifier le code]

Le tenseur d'Einstein est un tenseur d’ordre 2, ce qui schématiquement signifie que l’on peut le représenter sous forme d’une matrice, qui possède 4 lignes et 4 colonnes, autant que les coordonnées de l’espace-temps dans lequel nous vivons. Il se déduit du tenseur de Ricci par la formule

étant le tenseur d’Einstein, le tenseur de Ricci, la métrique riemannienne de l’espace-temps, et R la courbure scalaire, c’est-à-dire la trace du tenseur de Ricci. En deux dimensions, il s'écrit :

ou

Ces deux expressions sont égales et même nulles car on a :

On aurait de même . Le tenseur d'Einstein d'une surface est identiquement nul, au contraire du tenseur de Riemann, ce qu'on vérifie sur la sphère[17].

Propriété fondamentale[modifier | modifier le code]

Le tenseur de Ricci se déduit d’un autre tenseur, le tenseur de Riemann. Celui-ci obéit à un certain nombre de propriétés dont l’une est appelée identité de Bianchi. Celle-ci, transposée à la définition du tenseur d’Einstein, implique qu’il est de divergence nulle :

,

D est la dérivée covariante, sorte de généralisation du concept usuel de dérivée au cas où l’espace temps est courbé par la présence de matière, et où les composantes dites covariantes se déduisent de celles dites contravariantes de par la formule

Importance en relativité générale[modifier | modifier le code]

Le tenseur d’Einstein est le seul tenseur d’ordre deux faisant intervenir la métrique et ses dérivées jusqu'à l’ordre deux qui soit de divergence nulle. C'est donc le candidat idéal pour faire partie des équations d'Einstein, qui relient la géométrie de l’espace-temps (en fait le tenseur d’Einstein) à la distribution de matière, décrite par le tenseur énergie-impulsion .

En l'absence de constante cosmologique, le tenseur d'Einstein est proportionnel au tenseur énergie-impulsion[1],[18] :

,

et l'équation d'Einstein s'écrit ainsi[N 4] :

,

la constante de proportionnalité κ, appelée constante d'Einstein, est ajustée de façon que les équations d’Einstein deviennent équivalente aux lois de la gravitation universelle reliant le potentiel gravitationnel Φ à la masse volumique µ au même point selon la loi dite de Poisson , G étant la constante de Newton et le laplacien.

En d'autres termes, la partie gauche de la formule décrit la courbure (la géométrie) de l'espace-temps, la partie droite décrit le contenu de l'espace-temps.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. En anglais : Einstein tensor[4].
  2. En anglais : Einstein curvature tensor.
  3. En anglais : Ricci-Einstein (curvature) tensor[4],[11].
  4. Avec c = 1 : Gμν = κTμν = 8πGTμν.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Barrau et Grain 2016, chap. 5, sect. 5.3, p. 84.
  2. Heyvaerts 2012, chap. 8, sect. 8.7, § 8.7.3, p. 175.
  3. Lachièze-Rey 2013, chap. 3, sect. 3.1, § 3.1.1, p. 51.
  4. a et b Müller-Kirsten 2008, chap. 15, § 15.1, p. 471.
  5. Dongen 2010, chap. 1er, sect. 1.1, § 1.1.2, p. 12.
  6. Barrau et Grain 2016, chap. 5, sect. 5.3, p. 83.
  7. Dongen 2010, chap. 1er, sect. 1.1, § 1.1.2, p. 11.
  8. Collion 2019, chap. 4, § 4.5, p. 104.
  9. Petitot 1997, p. 378.
  10. Leite Lopes 1986, chap. 7, § 7.2, p. 89 et 91-92.
  11. Cohen-Tannoudji 2009, sect. 4, § 4.2.
  12. Einstein 1915, p. 844 (éq. 1) et p. 845 (éq. 2 et 2a).
  13. Zee 2013, liv. 2, part. VI, chap. VI.5, § [1], p. 388 (2).
  14. Choquet-Bruhat 2014, part. A, chap. Ier, sect. I.9, § I.9.1, p. 21 (I.9.5).
  15. Choquet-Bruhat 2014, part. A, chap. IV, sect. IV.2, § IV.2.1, p. 62.
  16. Damour 2012, chap. 3, n. 20.
  17. Kenyon, I.R., General relativity, Oxford University Press, 1990
  18. Grøn et Hervik 2007, chap. 8, § 8.1, p. 180 (8.2).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]