Nombre de Kimberling

Une liste de centres du triangle a été établie par le mathématicien américain Clark Kimberling dans son Encyclopédie des centres du triangle, disponible en ligne auprès de l'université d'Evansville^[1]. Le rang d'un point remarquable dans la liste est appelé son nombre de Kimberling. Par exemple, le centre de gravité , noté X(2), est le numéro 2.

Au 7 octobre 2024, la liste de Kimberling comptait 65 607 points remarquables.

Des paires de points bicentriques sont aussi répertoriées par la notation (P(n), U(n))^[2].

Définition d'un centre du triangle

Article détaillé : Centre du triangle.

D'après Clark Kimberling, un centre du triangle est un point X tel qu'il existe une fonction $f$ non nulle homogène symétrique par rapport à ses deuxième et troisième variable, telle que X ait pour coordonnées barycentriques (ou bien trilinéaires) en notant $a,b,c$ les longueurs des côtés du triangle :

(f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b))

Exemples

Les premiers points sont :

Référence	Nom du point
X(1)	Centre du cercle inscrit
X(2)	Centre de gravité
X(3)	Centre du cercle circonscrit
X(4)	Orthocentre
X(5)	Centre du cercle d'Euler
X(6)	Point de Lemoine
X(7)	Point de Gergonne
X(8)	Point de Nagel
X(9)	Mittenpunkt
X(10)	Centre du cercle de Spieker
X(11)	Point de Feuerbach
X(13)	Point de Fermat ou premier point isogonique
X(14)	Deuxième point isogonique
X(15), X(16)	les deux points isodynamiques
X(17), X(18)	les deux points de Napoléon
X(20)	Point de Longchamps
X(21)	Point de Schiffler
X(485)	Point de Vecten
X(501)	Point de Miquel

Obtention du nombre de Kimberling par la méthode 6-9-13

Pour obtenir le nombre de Kimberling d'un point dont on connait un système de coordonnées trilinéaires $(f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b))$ .

On calcule d'abord une valeur approchée de l'aire du triangle pour $(a,b,c):=(6,9,13)$ : $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\quad {\text{avec}}\quad p={\frac {a+b+c}{2}}.$

Puis, avec $x=f(a,b,c),y=f(b,c,a),z=f(c,a,b)$ , on calcule une valeur approchée de $k=2S/(ax+by+cz)$ , puis une valeur approchée de $kx$ .

Ensuite grâce à la table de cette page de l'ETC, on obtient le nombre de Kimberling du point, à partir de la coordonnée $kx$ .

Paires bicentriques

Une paire bicentrique de points dans le triangle est un couple de points (P, Q) tel qu'il existe une fonction $f$ non nulle homogène mais non symétrique caractérisant les coordonnées barycentriques de P et Q^[3]:

P(f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b))\ \mathrm {et} \ Q(f(a,c,b):f(c,b,a):f(b,a,c))\qquad \mathrm {mais} \qquad |f(a,b,c)|\neq |f(a,c,b)|.

Kimberling répertorie les paires de points bicentriques sous la notation (P(n), U(n))^[2]. Au 20 octobre 2022, la liste comptait 210 paires bicentriques remarquables.

Référence	Nom de la paire	Définition
P(1), U(1)	Points de Brocard	Intersections de trois céviennes isoclines^[4]
P(2), U(2)	Points de Beltrami	Inverses des points de Brocard par rapport au cercle circonscrit
P(3), U(3)	Points d'Yff	Intersections des trois céviennes telles que les distances entre un sommet et le pied d'une cévienne soient égales^[5]
P(4), U(4)	Intersections de Grinberg	Points d'intersection du cercle circonscrit et du cercle d'Euler du triangle (n'existent que si un des angles est obtus)
P(11), U(11)	Conjugués isotomiques des points de Brocard

Références

↑ Encyclopedia of Triangle Centers
↑ ^{a et b} (en) C. Kimberling, « Bicentric pairs of points »
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Bicentric Points », sur MathWorld
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Brocard Points », sur MathWorld
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Yff Points », sur MathWorld

Voir aussi

Éléments remarquables d'un triangle
Centre du triangle
(en) page d'accueil de Kimberling à l'université UE
(en) Encyclopédie des points remarquables du triangle (Encyclopedia of Triangle Centers)
(en) « Kimberling, Clark » (partitions libres de droits), sur le site de l'IMSLP

Portail de la géométrie

[1] Encyclopedia of Triangle Centers

[Bicentric-2] {a et b} (en) C. Kimberling, « Bicentric pairs of points »

[3] (en) Eric W. Weisstein, « Bicentric Points », sur MathWorld

[4] (en) Eric W. Weisstein, « Brocard Points », sur MathWorld

[5] (en) Eric W. Weisstein, « Yff Points », sur MathWorld

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron