Logique modale

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En logique, une logique modale est une logique qui permet de formaliser des éléments modaux, c'est-à-dire de spécifier des qualités du vrai. Une proposition comme « Il pleut » peut être précédé d'une modalité ː

  • Il est nécessaire qu’il pleuve ;
  • Demain, il pleut ;
  • Christophe Colomb croit qu'il pleut ;
  • Il est démontré qu’il pleuve ;
  • Il est obligatoire qu’il pleuve.

Il existe une variété de logiques modales comme les logiques temporelles, la logique épistémique (logique de connaissance). En informatique, la logique modale est intéressante pour son expressivité et les aspects algorithmiques. Par exemple, la logique temporelle est utilisée pour spécifier des programmes puis les vérifier.

Logique modale aléthique[modifier | modifier le code]

En logique modale aléthique (ou aristotélicienne, ou classique), on dégage quatre modalités :

  • nécessaire (ce qui ne peut pas ne pas être vrai), noté  ;
  • contingent (ce qui peut être vrai ou faux), noté  ;
  • possible (tout ce qui peut être, sauf impossible), noté  ;
  • impossible (ce qui ne peut pas ne pas être faux), noté .

Ces 4 modalités sont liées, il suffit d'une pour définir les trois autres.

L'interprétation intuitive (non partagée par toute la communauté philosophico - logicienne) est la suivante :

  • Nécessaire ≡ impossible pas ;
  • Contingent ≡ non nécessaire ≡ possible pas ;
  • Possible ≡ non impossible.

On distingue donc deux connecteurs unaires duaux l'un de l'autre :

  • Le nécessaire  ;
  • Le possible .


p signifie que p est nécessairement vrai, tandis que p signifie que p est possiblement vrai, c'est-à-dire compatible avec les connaissances actuelles.

Exemples :

  • trav : il n’est pas nécessaire que les élèves travaillent ;
  • trav : il n’est pas possible que les élèves travaillent ;
  • trav : il est nécessaire que les élèves ne travaillent pas ;
  • trav : il est possible que les élèves ne travaillent pas.


En logique modale aléthique (ou aristotélicienne, ou classique), nous pouvons exprimer les quatre opérateurs à l’aide d’un seul (ici la nécessité) et de la négation. Ainsi :

  • Impossible est  ;
  • Possible est .

Une proposition nécessaire ne peut pas être fausse sans impliquer de contradiction, a contrario d’une proposition contingente qui peut impliquer une contradiction.

Différentes logiques modales[modifier | modifier le code]

Le carré modal : relations entre les modalités de la logique aristotélicienne.

Il existe plusieurs types de logiques modales, dont les modes sont :

  • classiques (ou aristotéliciens, ou aléthiques) :
    • nécessaire, noté
    • contingent, noté
    • possible, noté
    • impossible, noté
  • épistémiques (relatifs à la connaissance) :
    • connu par l'agent , noté
    • contestable
    • exclu
    • plausible
    • connaissance commune du groupe d'agents, notée
    • connaissance partagée du groupe d'agents, notée (chacun sait)
  • déontiques (moraux) :
    • obligatoire, noté O
    • interdit, noté I
    • permis, noté P
    • facultatif, noté F
  • temporels :
    • toujours, noté ou G
    • un jour, noté , ou parfois F
    • jamais, noté
    • demain, noté X
    • jusqu'à ce que, opérateur binaire noté U
    • toujours dans le passé, noté H
    • un jour passé, noté P
  • doxastiques (sur les croyances) :
    • cru, noté B
    • croyance commune du groupe d'agents, notée
  • contrefactuels :
    • Si A était vrai, où l'on sait que A n'est pas vrai.
  • dynamiques (effet d'actions, notées a, sur des propositions) :
    • Il existe une exécution de a tel qu'après a, p est vrai, noté
    • p est vrai après toute exécution de a, noté .

Axiomes de logique modale[modifier | modifier le code]

Chaque logique modale est munie d'une série d'axiomes qui définissent le fonctionnement des modalités. Une logique modale est dite normale ou de Kripke si et seulement si elle admet

  • (RN) (ou (N) ou (NEC)) la règle d'inférence de nécessitation :
Si A est un théorème, alors aussi.
  • (K) l'axiome de distribution de Kripke :

En ajoutant d'autres types d'axiomes on obtient d'autres types de logique modale :

  • (D) : soit la nécessité implique la possibilité (en logique aristotélicienne)
  • (T) (ou (M)): soit le fait implique la possibilité
  • (4) :
  • (B) :
  • (5) (ou (E)) :

Ces axiomes permettent de définir les systèmes suivants :

  • K:=K+RN
  • T:=K+T
  • S4:=T+4
  • S5:=S4+B ou T+5
  • D:=K+D

La suite de systèmes K à S5 forme une hiérarchie imbriquée qui compose le noyau de la logique modale normale. L'axiome D, quant à lui, est principalement utilisé dans les logiques déontique, doxastique et épistémique.

Modèles de la logique modale[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Sémantique de Kripke.

Les modèles de Kripke, ou modèles de mondes possibles, donnent une sémantique aux logiques modales. Un modèle de Kripke est la donnée ː

  • d'un ensemble non vide de mondes possibles ,
  • d'une relation binaire entre les mondes possibles appelée relation d'accessibilité
  • d'une valuation qui donne une valeur de vérité à chaque variable propositionnelle dans chaque monde possible.

La sémantique d'un opérateur modal est définie à partir d'une relation d'accessibilité de la façon suivante : la formule est vraie dans un monde w si, et seulement si la formule est vraie dans tous les mondes accessibles depuis w par la relation .

Classification des systèmes de logique modale[modifier | modifier le code]

Les systèmes de logiques modales sont organisés en fonction des règles d'inférence et des axiomes qui les caractérisent.

Logiques modales classiques[modifier | modifier le code]

Les systèmes de logique modale classiques sont ceux qui acceptent la règle d'inférence suivante :

L'usage veut que l'on donne à un tel système un nom canonique du type , où les sont les noms des axiomes du systèmes.

Logiques modales monotones[modifier | modifier le code]

Les systèmes de logique modale monotones sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RM :

L'ensemble des systèmes monotones est inclus dans l'ensemble des systèmes classiques.

Logiques modales régulières[modifier | modifier le code]

Les systèmes de logique modale réguliers sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RR :

L'ensemble des systèmes réguliers est inclus dans l'ensemble des systèmes monotones.

Logiques modales normales[modifier | modifier le code]

Les systèmes de logique modale normaux sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RK :

L'ensemble des systèmes normaux est inclus dans l'ensemble des systèmes réguliers.

Une définition équivalente et plus courante des systèmes normaux est la suivante : un système de logique modal est dit normal s'il comporte l'axiome (K) et accepte la règle de nécessitation (RN) comme règle d'inférence :

Les systèmes normaux sont les plus utilisés, car ce sont ceux qui correspondent aux sémantiques de Kripke. Il est cependant possible de trouver des sémantiques pour des logiques classiques non normales, mais elles présentent en général de moins bonnes propriétés.

Lien avec d'autres logiques[modifier | modifier le code]

La logique intuitionniste peut être construite sur la logique aléthique comme une logique modale. La logique modale est un fragment de la logique du premier ordre.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]