Gottlob Frege

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Gottlob Frege
Young frege.jpg
Naissance

Wismar
Décès
(à 76 ans)
Bad Kleinen
Nationalité
Formation
École/tradition
Principaux intérêts
Idées remarquables
Œuvres principales
Les Fondements de l'arithmétique ; Écrits logiques et philosophiques ; Idéographie
Influencé par
A influencé

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (né le à Wismar – mort le à Bad Kleinen) est un mathématicien, logicien et philosophe allemand, créateur de la logique moderne et plus précisément du calcul propositionnel moderne : le calcul des prédicats.

Il est en outre considéré comme l'un des plus importants représentants du logicisme. C'est à la suite de son ouvrage Les Fondements de l'arithmétique, où il tente de dériver l'arithmétique de la logique, que Russell lui a fait parvenir le paradoxe qui porte son nom. Néanmoins Frege n'entendait nullement réduire le raisonnement mathématique à sa seule dimension logique. Son idéographie visait à associer sur la même page, et de manière explicite, le contenu mathématique (ligne horizontale de la page) et la structure logique (ligne verticale).

Biographie et politique[modifier | modifier le code]

Enfance (1848–69)[modifier | modifier le code]

Frege est né en 1848 à Wismar, Mecklembourg-Schwerin (aujourd'hui partie du Mecklembourg-Poméranie occidentale). Son père Carl Alexander Frege (1809-1866) a été le cofondateur et le directeur d'un lycée de filles jusqu'à sa mort. Après la mort de Carl, l'école a été dirigée par la mère de Frege, Auguste Wilhelmine Sophie Frege (née Bialloblotzky, 12 janvier 1815 – 14 octobre 1898); Sa mère était Auguste Amalia Maria Ballhorn, descendante de Philipp Melanchthon[1] et son père, Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, est un descendant d'une famille noble polonaise qui a quitté la Pologne au XVIIe siècle[2].Durant son enfance, Frege a rencontré des philosophies qui guideront sa future carrière scientifique. Par exemple, son père a écrit un manuel sur la langue allemande pour les enfants âgés de 9 à 13 ans, intitulé Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren (2de ed., Wismar 1850; 3 rd ed., Wismar et Ludwigslust: Hinstorff, 1862), dont la première section traite de la structure et de la logique du langage.

Frege a étudié dans un gymnasium à Wismar et est diplômé en 1869. Son professeur Gustav Adolf Leo Sachse, qui était un poète, a joué le rôle le plus important dans la détermination de la future carrière scientifique de Frege, l'encourageant à continuer ses études à l'université de Jena.

Études à l'université: Iéna et Göttingen (1869-74)[modifier | modifier le code]

Frege est matriculé à l'Université d'Iéna au printemps de 1869 en tant que citoyen de la Confédération de l'Allemagne du Nord. Durant les quatre semestres de ses études, il a assisté à environ vingt conférences, la plupart sur les mathématiques et la physique. Son professeur le plus important était Ernst Karl Abbe (1840–1905, physicien, mathématicien et inventeur). Abbe a donné des conférences sur la théorie de la gravité, le galvanisme, l'électrodynamique, la théorie de l'analyse complexe des fonctions d'une variable complexe, les applications de la physique, et la mécanique des solides. Abbe était plus qu'un professeur pour Frege: il était un ami de confiance et, en tant que directeur du constructeur optique Carl Zeiss AG, il était en mesure de faire avancer la carrière de Frege. Après l'obtention du diplôme de Frege, ils avaient une correspondance plus étroite.

Ses autres enseignants universitaires notables ont été Christian Philipp Karl Snell (1806–86, utilisation de l'analyse infinitésimale en géométrie, géométrie analytique des plans, mécanique analytique, optique, fondements physiques de la mécanique); Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer (1824–1900, géométrie analytique, physique appliquée, analyse algébrique, télégraphe et autres machines électroniques); Et le philosophe Kuno Fischer (1824–1907, philosophie kantienne).

À partir de 1871, Frege a poursuivi ses études à Göttingen, l'université de premier plan en mathématiques en territoires germanophones, où il a assisté aux conférences d'Alfred Clebsch (1833–72, géométrie analytique), Julius Schering (1824–97; Théorie de la fonction), Wilhelm Eduard Weber (1804–91, études physiques, physique appliquée), Eduard Riecke (1845-1915, théorie de l'électricité) et Hermann Lotze (1817–1981, philosophie de la religion). Beaucoup de doctrines philosophiques du Frege mature ont des parallèles avec celles de Lotze; Elles ont fait l'objet d'un débat scientifique, s'il y a eu ou non une influence directe sur les opinions de Frege découlant de ses conférences de Lotze.

En 1873, Frege a obtenu son doctorat sous la direction de Ernst Christian Julius Schering, avec une thèse ayant pour titre « Ueber Eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene » (« Sur une Représentation Géométrique des Formes Imaginaires dans le Plan »), dans lequel il visait à résoudre des problèmes fondamentaux de géométrie comme l'interprétation mathématique des points infiniment distants (imaginaires) de la géométrie projective.

Frege épousa Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg (15 février 1856 – 25 juin 1904) le 14 mars 1887.

Contribution en logique et en mathématiques[modifier | modifier le code]

Article général : Idéographie
Raisons de l'idéographie : Que la science justifie le recours à une idéographie

Bien que son éducation et son travail mathématique précoce se concentrent principalement sur la géométrie, le travail de Frege s'est vite orienté vers la logique. Son Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, a marqué un tournant dans l'historique de la logique. Le Begriffsschrift a ouvert un nouveau terrain, et un traitement rigoureux des idées de fonctions et de variables. Le but de Frege était de montrer que les mathématiques se développaient hors de la logique, et, ce faisant, il a conçu des techniques qui l'ont amené bien au-delà de la logique propositionnelle syllogistique et stoïcienne.

Page de couverture du Begriffsschrift (1879).

En effet, Frege a inventé la logique des prédicats axiomatique, en grande partie grâce à son invention de variables quantifiées, qui finit par devenir omniprésente en mathématiques et en logique. La logique précédente avait traité les opérateurs logiques et, ou, ... si ... alors, non, et certains et tous, mais les itérations de ces opérations, en particulier « Il existe » et « pour tous », étaient peu comprises : même la distinction entre une phrase comme « chaque garçon aime une fille » et « une fille est aimée par chaque garçon » ne pourrait être représentée que de manière très artificielle, alors que le formalisme de Frege n'avait aucune difficulté à exprimer les différentes lectures de « chaque garçon aime une fille qui aime un garçon qui aime une fille ».

Un exemple fréquemment utilisé est que la logique d'Aristote est incapable de représenter des énoncés mathématiques tel que le théorème d'Euclide, un théorème fondamental de la théorie des nombres qui déclare qu'il existe une infinité de nombres premiers. La « notation conceptuelle » de Frege peut représenter de telles inférences[3]. L'analyse des concepts logiques et la formalisation des concepts qui ont été essentielles pour les Principia Mathematica (3 vols., 1910–13) (par Bertrand Russell, 1872–1970 et Alfred North Whitehead, 1861–1947), à la théorie des descriptions de Russell, aux théorèmes d'incomplétude de Kurt Gödel (1906–78), et à la théorie sémantique de la vérité d'Alfred Tarski (1901–83), sont finalement dues à Frege.

L'un des objectifs de Frege était d'isoler des principes d'inférence logiques, de sorte qu'on n'ait nullement besoin de l'intuition. S'il y avait un élément intuitif, il devait être isolé et représenté séparément comme axiome : à partir de là, la preuve devait être purement logique. Après avoir exposé cette possibilité, le but plus large de Frege était de défendre la vue selon laquelle l'arithmétique est une branche de la logique, une vision connue sous le nom de logicisme : contrairement à la géométrie, l'arithmétique devait être démontrée comme n'ayant aucun fondement intuitionniste, et d'axiomes non-logiques. Cette idée a été formulée dans des termes non-symboliques dans Les Fondements de l'arithmétique (1884). Plus tard, dans ses Lois fondamentales de l'arithmétique (vol. 1, 1893 ; volume 2, 1903 ; le vol. 2 a été publié à ses frais), Frege a tenté de dériver, en utilisant son symbolisme, toutes les lois de l'arithmétique d'axiomes qu'il a affirmés comme logiques. La plupart de ces axiomes ont été reportés de son Begriffsschrift, en entraînant quelques changements importants. Le principe vraiment nouveau était celui qu'il appelait la Loi fondamentale V : la « value-range » de la fonction f(x) est la même que la « range-value » de la fonction g(x) si et seulement six[f(x) = g(x)].

Cette loi peut être formulée en notation moderne comme suit : soit {x|Fx} l'extension du prédicat Fx, c'est-à-dire l'ensemble de tous les Fs, et de manière similaire pour Gx. Puis, la loi fondamentale V dit que les prédicats Fx et Gx ont la même extension iff ∀x [FxGx]. L'ensemble de Fs est identique à l'ensemble de Gs dans le cas où chaque F est un G et chaque G est un F. La loi fondamentale V peut simplement être remplacée par le principe de Hume, qui indique que le nombre de Fs est le même que le nombre de Gs si et seulement si les Fs peuvent être mis en correspondance bijective avec les Gs. Ce principe, également, est cohérent si l'arithmétique de second ordre est suffisante pour démontrer les axiomes de l'arithmétique de second ordre. Ce résultat est appelé théorème de Frege[4].

La logique de Frege, maintenant connue sous le nom de logique du second ordre, peut être affaiblie par la logique dite prédicative de second ordre. La logique prédicative de second ordre ainsi que la loi fondamentale V est formellement compatible avec les méthodes finitistes ou constructives, mais elle ne peut interpréter que des fragments d'arithmétique très faibles.

Le travail de Frege en logique a eu peu d'attention internationale jusqu'en 1903, lorsque Russell a écrit une annexe aux The Principles of Mathematics indiquant ses différences avec Frege. La notation schématique utilisée par Frege n'avait pas d'antécédents (et n'a eu aucun imitateur depuis). Jusqu'à ce que Russell et Whitehead avec leurs Principia Mathematica apparaissent en 1910-13, l'approche dominante de la logique mathématique était encore celle de George Boole (1815-64) et de ses descendants intellectuels, en particulier Ernst Schröder (1841-1902). Les idées logiques de Frege se sont néanmoins répandues dans les écrits de son élève Rudolf Carnap (1891-1970) et d'autres admirateurs, en particulier Bertrand Russell et Ludwig Wittgenstein (1889-1951).

Philosophie du langage[modifier | modifier le code]

Selon Frege, d'une part, la pensée est inséparable du langage ; seul le langage permet à l'attention de se libérer de l'immédiateté sensible, mais il le fait par d'autres éléments sensibles, à savoir les signes; le langage libère donc la pensée comme la technique de navigation contre le vent libère du vent par le vent. Mais, d'autre part, les langues ordinaires pèchent par équivocité des signes, et aussi par le fait qu'elles ne sont pas calquées sur les lois objectives de la pensée, mais sur celles de la psychologie humaine. Il convient donc de mieux distinguer les deux, grâce à l'invention d'une langue spéciale, calquée sur les exigences logiques. L'écriture constitue une étape importante dans la libération de la pensée rigoureuse ; elle permet de s'appuyer sur des signes constants, et aussi de rapporter librement l'énoncé aux lois de la logique. Dans ces conditions, la première tâche de la logique sera d'édifier un langage logique aussi rigoureux que possible, où toute lacune dans l'exposé des raisons sera aperçue d'un coup d'œil. (Que la science justifie le recours à une idéographie, article publié en 1882 dans le Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik (81).)

Frege a développé une conception du langage à la suite de ses recherches logiques. Über Sinn und Bedeutung est l'article classique qui expose deux problèmes à propos de la signification des phrases, et où il montre que l'on doit distinguer sens et dénotation :

  • le problème du jugement d'identité : « a=b » est un jugement d'identité, dans lequel « a » et « b » dénotent des objets. « a=b » est vrai si l'objet « a » est identique à l'objet « b », en d’autres termes si a et b dénotent le même objet, ont la même dénotation (bedeutung). Comment alors expliquer que les mathématiques ne se réduisent pas à de vaines tautologies, comme « Paul est Paul » ? C'est que deux formules, qui dénotent pourtant le même objet x, n'ont pas nécessairement le même sens. Par exemple, le vainqueur d'Austerlitz (a) est le même individu (x) que le vaincu de Waterloo (b), mais les deux expressions n'ont nullement le même sens (sinn).
  • les attitudes propositionnelles.

Sens et dénotation[modifier | modifier le code]

(Pour la critique de cette théorie par Russell, voir Description définie)

Frege distingue sens et dénotation ; la dénotation est l'objet auquel on fait référence, le sens est le mode de donation de la dénotation. Exemple :

  • « L'étoile du matin » et « l'étoile du soir » ont des sens différents mais la même dénotation (Vénus).
  • « L'étoile la plus éloignée de la terre » a un sens (Sinn) mais n'a pas de dénotation (Bedeutung).

Cette distinction, qui sera rejetée par Russell, a pour objet d'expliquer qu'une formule comme a=b ait une utilité, c'est-à-dire qu'elle ne se réduit pas à a=a. Nous apprenons par cette formule que deux concepts distincts renvoient à un seul et même objet. En effet le concept se dit d'un objet, mais ne se confond pas avec lui. Le cheval est en fait un certain objet que nous dénotons par sa propriété d'être un certain cheval. Il y a un cheval veut dire qu'il existe un x (objet dénoté), tel qu'il est un cheval (concept signifié). En effet, le langage désigne le plus souvent moins chaque objet par un nom propre que par une catégorie commune à plusieurs objets.

Notons que Frege explique qu'il ne faut pas psychologiser cette distinction. Le sens n'est nullement la représentation subjective que chacun introduit sous le concept. Il est rigoureux et universel. L'expression "2+2" a la même dénotation que "3+1", mais non le même sens. Elle ne renvoie pourtant en rien à quelque image subjective.

Influence[modifier | modifier le code]

De son vivant, les articles de Frege furent soit refusés, soit négligés, tant par les logiciens que les philosophes. C'est Russell, qui le premier, reconnut l'importance de cette œuvre.

Rudolf Carnap, un des membres du Cercle de Vienne a suivi les cours que donnait Frege à Iéna.

L'influence de Frege fut double.

  1. Incontestablement, il est l’inventeur de la logique moderne, livrant ainsi un formidable outil aux mathématiques contemporaines.
  2. Il est un des pères de la philosophie analytique et a influencé par ses travaux Russell, Whitehead, Wittgenstein.

Enfin, le père de la phénoménologie, Husserl, critiqué âprement dans un article de Frege, et accusé de psychologisme, modifia ses conceptions.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Œuvres de Frege[modifier | modifier le code]

Littérature secondaire[modifier | modifier le code]

  • Stephen Cole Kleene (trad. Jean Largeault), Logique mathématique, Armand Colin, 1971.
  • Philippe de Rouilhan, Frege – Les paradoxes de la représentation, Éditions de Minuit, 1988
  • Mathieu Marion et Alain Voizard (dir.), Frege – Logique et philosophie, L’Harmattan, 1998
  • Pascal Engel, Identité et référence, la théorie des noms propres chez Frege et Kripke, Paris, Presses de l’École normale supérieure, 1985
  • (en) I. Angelelli, Studies on Gottlob Frege and Traditional Philosophy (Dordrecht, 1967).
  • J.-P. Belna, La notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege : Théories, conceptions et philosophie, Paris, 1996
  • (en) W. Demopoulos (éd.), Frege's Philosophy of Mathematics, Cambridge (MA), 1995
  • (en) M. Dummett, Frege : philosophy of language, London, 1992
  • (en) M. Dummett, The Interpretation of Frege's Philosophy, London, 1981
  • (en) M. Dummett, Frege : philosophy of mathematics, London, 1995
  • (en) A. Kenny (en), Frege : An introduction to the founder of modern analytic philosophy, Oxford, 2000
  • (de) U. Kleemeier, Gottlob Frege : Kontext-Prinzip und Ontologie, Freiburg, 1997
  • (en) E. D. Klemke (éd.), Essays on Frege, 1968

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Lothar Kreiser, Gottlob Frege: Leben - Werk - Zeit, Felix Meiner Verlag, 2013, p. 11.
  2. Arndt Richter, "Ahnenliste des Mathematikers Gottlob Frege, 1848-1925"
  3. (en) Leon Horsten et Richard Pettigrew, « Introduction », dans The Continuum Companion to Philosophical Logic, Continuum International Publishing Group, , p. 7.
  4. (en) « Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic », dans Stanford Encyclopedia of Philosophy, plato.stanford.edu (lire en ligne).

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

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