Intuitionnisme

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L'intuitionnisme est une philosophie des mathématiques que L. E. J. Brouwer a élaborée au début du XX^e siècle. Pour Brouwer, les mathématiques sont une libre création de l'esprit humain et tous les objets qu'elles manipulent doivent être accessibles à l'intuition. L'intuitionnisme a pour conséquence une profonde remise en cause des mathématiques, notamment en refusant l'infini actuel : un nombre réel ne peut être représenté comme une suite infinie de décimales qu'à la condition de disposer d'un moyen effectif de calculer chacune de ces décimales ; on parle alors de réel constructif.

Sur le plan logique l'intuitionnisme n'accepte pas le raisonnement par l'absurde ou le tiers exclu pour la raison que ces principes permettent de démontrer des propriétés de façon non constructive : par exemple si on veut démontrer l'existence d'un nombre réel satisfaisant une certaine propriété, on peut raisonner par l'absurde, supposer qu'un tel réel n'existe pas, en déduire une contradiction et conclure que donc un tel réel existe, mais cette démonstration ne donne aucune indication sur la façon dont on pourrait calculer ce réel. Pour un intuitionniste on a juste démontré que l'existence d'un tel réel n'est pas contradictoire, mais pas que ce réel existe.

La logique intuitionniste a été développée par V. Glivenko et Arend Heyting, Kurt Gödel et Andreï Kolmogorov et formalise les principes logiques sur lesquels s'appuie l'intuitionnisme.

L'intuitionnisme est souvent considéré comme une forme de constructivisme, avec lequel il a beaucoup en commun, mais il s'en écarte quand, comme c'est le cas pour l'intuitionnisme originel de Brouwer, il conduit à des énoncés mathématiques valides qui ne le sont pas classiquement. La logique intuitionniste ne permet, elle, de démontrer que des énoncés valides en logique classique.

Bibliographie

• (en) Arend Heyting, Intuitionism: An Introduction, Amsterdam, North-Holland Pub. Co, 1971, 3^e éd. (1^re éd. 1956) (ISBN 0-7204-2239-6)
• (en) Rosalie Iemhoff, « Intuitionism in the Philosophy of Mathematics », 2008, Entrée « Intuitionism » dans la Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• (en) Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. 2^de édition 1977. Contient entre autres (avec des commentaires de van Heijenoort) :
  • L. E. J. Brouwer, 1923, On the significance of the principle of excluded middle in mathematics, especially in function theory, p. 334
  • Andrei Nikolaevich Kolmogorov, 1925, On the principle of excluded middle, p. 414
  • L. E. J. Brouwer, 1927, On the domains of definitions of functions, p. 446
  • L. E. J. Brouwer, 1927(2), Intuitionistic reflections on formalism, p. 490
• (en) Hilary Putnam et Paul Benacerraf, Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1964. 2nd ed., Cambridge: Cambridge University Press, 1983. (ISBN 0-521-29648-X)
• Part I. The foundation of mathematics, Symposium on the foundations of mathematics ; qui débute par les textes compilés de manière non chronologique :
  • Rudolph Carnap, The logicist foundations of mathematics, p. 41
  • Arend Heyting, The intuitionist foundations of mathematics, p. 52
  • Johann von Neumann, The formalist foundations of mathematics, p. 61
  • Arendt Heyting, Disputation, p. 66
  • L. E. J. Brouwer, Intuitionnism and formalism, p. 77
  • L. E. J. Brouwer, Consciousness, philosophy, and mathematics, p. 90
• Jean Largeault, L'intuitionisme, Paris, PUF, coll. QSJ ?, 1992
• Jean Largeault, Intuitionisme et théorie de la démonstration, Paris, J. Vrin, 1992, 566 p. (ISBN 2-7116-1059-4, présentation en ligne)
  Textes de Bernays, Brouwer, Gentzen…[et al.] réunis, traduits et présentés par Jean Largeault.
• Jacques Hartong et Georges Reeb, Intuitionnisme 84 (publié initialement dans un ouvrage collectif intitulé La Mathématique Non-standard, éditions du C.N.R.S.)