Preuve ontologique de Gödel

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La Preuve ontologique de Gödel est une démonstration, dans le système de logique modale, de l'existence de Dieu.

Bien que Gödel ait été croyant, il n'a jamais publié cette preuve car il craignait qu'elle fût interprétée comme l'établissement de l'existence de Dieu au-delà du doute. Au lieu de cela, il ne la voyait que comme une étude logique et une formulation claire des arguments de Leibniz. Il a à plusieurs reprises présenté cette preuve à des amis vers 1970 mais elle n'a été publiée qu'en 1987, neuf ans après sa mort.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La preuve s'appuie sur les définitions et axiomes suivants :

  • Définition 1 : x est divin (et on note G(x)) si et seulement si x contient comme propriétés essentielles toutes les propriétés qui sont positives et seulement celles-ci.
  • Définition 2 : A est une essence de x si et seulement si pour chaque propriété B, si x contient B alors A entraîne nécessairement B.
  • Définition 3 : x existe nécessairement si et seulement si chaque essence de x est nécessairement exemplifiée.
  • Axiome 1 : Toute propriété entraînée par — c'est-à-dire impliquée uniquement par — une propriété positive est positive.
  • Axiome 2 : Une propriété est positive si et seulement si sa négation n'est pas positive.
  • Axiome 3 : La propriété d'être divin est positive.
  • Axiome 4 : Si une propriété est positive, alors elle l'est nécessairement.
  • Axiome 5 : L'existence nécessaire est positive.

De ceux-ci et des axiomes de la logique modale, on déduit, dans l'ordre :

  • Théorème 1 : Si une propriété est positive, alors elle est possiblement exemplifiée.
  • Théorème 2 : La propriété d'être divin est possiblement exemplifiée.
  • Théorème 3 : Si x est divin, alors la propriété d'être divin est une essence de x.
  • Théorème 4 : La propriété d'être divin est nécessairement exemplifiée[1].

Écriture symbolique[modifier | modifier le code]


signifie « A est possible » et où signifie « A est nécessaire ».

Critique de la démonstration[modifier | modifier le code]

Cette démonstration mathématique datant de 1970 mais publiée en 1987 provoqua un vif émoi chez les mathématiciens et logiciens, qui n'étaient pas pour autant capables d'expliquer tous les aspects de cette preuve[réf. nécessaire].

La démonstration en elle-même est désormais virtuellement inattaquable étant donné qu'elle a été mécanisée.[2] Mais il faut bien comprendre que ce qui est inattaquable, c'est le fait que la conclusion découle logiquement des axiomes choisis. En fonction de ceux-ci, on peut aussi aboutir à la conclusion inverse ( ce lien présente des exemples de preuve de l'inexistence de Dieu).

Critique des définitions et des axiomes[modifier | modifier le code]

Traduit depuis Gödel's ontological proof

L'axiome 3 disait à l'origine qu'une conjonction de propriétés positives est également une propriété positive. Mais pour que la preuve fût recevable, cet axiome devait pouvoir être appliqué à un nombre quelconque, éventuellement infini, de propriétés. Par ailleurs, des propriétés positives peuvent être incompatibles entre elles : leur conjonction serait une propriété impossible et G(x) serait faux pour chaque x.

D'après Jordan Sobel, les axiomes de Gödel impliquent que tous les mondes possibles sont nécessaires et doivent donc être rejetés. Il montre plus précisément que si g est divin et X est une propriété possiblement exemplifiée, en considérant la propriété "est tel que X est vrai", on déduit que X est nécessairement exemplifiée. Un argument semblable prouve que toutes les propriétés possiblement non-exemplifiées le sont en fait nécessairement. C. Anthony Anderson a tenté de circonvenir ce problème en remplaçant l'axiome 4 par :

  • Axiome 4' : Si une propriété est positive, sa négation n'est pas positive,

et en permettant à un objet divin de posséder des propriétés non-positives, à condition que ces propriétés soient contingentes et non nécessaires.

Outre ces problèmes logiques, on peut également critiquer les aspects philosophiques des définitions. Est-il pertinent de définir le divin comme quelque chose qui contient toutes les propriétés positives (en ne donnant de plus aucune définition de ce qu'est une "propriété positive", tout au mieux en en donnant une définition implicite partielle à travers les axiomes qui s'y rapportent) ? Et est-ce que quelque chose de divin, selon cette définition, est nécessairement Dieu ? On a montré l'existence d'un objet qui contient tout ce qui est "positif" (sans définir cette positivité), mais rien ne nous autorise à donner une signification particulière à celui-ci.

D'autre part, on peut arguer que les axiomes 3 et 5 (positivité de G et de la propriété d'existence nécessaire) supposent plus qu'il n'y paraît, car la notion de positivité n'a réellement de sens que pour des propriétés possiblement exemplifiées. Ainsi, les théorèmes 1 et 2 (possible existence de G et E) sont déjà, implicitement, contenus tels quels dans les axiomes. La démonstration reste logiquement valide, mais n'apporterait donc rien de plus que la suivante, également valide : "Axiome 1 : Dieu existe. Théorème 1 : Dieu existe."

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Oppy, Graham. Ontological arguments . Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  2. (en) Christoph Benzmüller et Bruno Woltzenlogel Paleo, « Gödel's God in Isabelle/HOL », Archive of Formal Proofs,‎

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Kurt Gödel (1995). « Ontological Proof ». Collected Works: Unpublished Essays & Lectures, Volume III. pp. 403–404. Oxford University Press. ISBN 0-19-514722-7, En ligne
  • Sacha Bourgeois-Gironde, Bruno Gnassounou et Roger Pouivet (dir.), « Une preuve modale de l'existence de Dieu : K. Gödel », in Analyse et théologie : croyances religieuses et rationalité, J. Vrin, Paris, 2002, p. 109-116 (ISBN 2-7116-1549-9), lire en ligne
  • Kurt Gödel, La prova matematica dell'esistenza di Dio, (a cura di) G. Lolli e P. Odifreddi, Turin 2006.
  • Anderson, C. Anthony, "Some Emendations of Gödel's Ontological Proof", in: Faith and Philosophy 7 (1990), 291-303.
  • Anderson, C. Anthony, and Michael E. Gettings, "Goedel's Ontological Argument Revisited", in P. Hájek (ed.), Goedel '96. Logical Foundations of Mathematics, Computer Science and Physics -- Kurt Gödel's Legacy, New York 1996, 167-172.
  • Bjørdal, Frode, "Understanding Gödel's Ontological Argument", in T. Childers (ed.), The Logica Yearbook 1998, Praha 1999, 214-217.
  • Bromand, Joachim, "Gödels ontologischer Beweis und andere modallogische Gottesbeweise", in J. Bromand und G. Kreis (Hg.), Gottesbeweise von Anselm bis Gödel, Berlin 2011, 381-491.
  • Cook, Roy T., "God, the Devil, and Gödel's Other Proof", in L. Behounek (ed.), The Logica Yearbook 2003, Praha 2004, 97-109.
  • Czermak, Johannes, "Abriß des ontologischen Argumentes", in E. Köhler, et al. (Hg.), Kurt Gödel: Wahrheit und Beweisbarkeit, Bd. 2: Kompendium zum Werk, Wien 2002, 309-324.
  • Essler, Wilhelm K., "Gödels Beweis", in F. Ricken (Hg.) Klassische Gottesbeweise in der Sicht der gegenwärtigen Logik und Wissenschaftstheorie, Stuttgart 1998, 167-179.
  • Essler, Wilhelm K., und Elke Brendel, Grundzüge der Logik, Bd. II, Frankfurt a.M. 1993, Anhang IV: Gödels Gottesbeweis, 354-365.
  • Fitting, Melvin, Types, Tableaus and Gödel's God, Dordrecht 2002, 133-172.
  • Fuhrmann, André, "Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie", in W. Spohn, et al. (Hg.), Logik in der Philosophie, Heidelberg 2005, 349-374.
  • Gettings, Michael E. "Gödel's Ontological Argument: A Reply to Oppy", in Analysis 59 (1999), 309-313.
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  • Hájek, Petr, "Magari and Others on Gödel's Ontological Proof", in A. Ursini and P. Agliani (eds.), Logic and Algebra, New York 1996, 125-136.
  • Hájek, Petr, "A New Small Emendation of Gödel's Ontological Proof", in Studia Logica 71 (2002), 149-164.
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  • Muck, Otto, "Eigenschaften Gottes im Licht des Gödelschen Arguments", in Theologie und Philosophie 67 (1992), 60-85.
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  • Wang, Hoa, A Logical Journey. From Gödel to Philosophy, Cambridge MA 1996, 111-121.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]