Théorème de Löwenheim-Skolem

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En théorie des modèles, les théorèmes de Löwenheim-Skolem désignent plusieurs théorèmes, essentiellement deux, le théorème de Löwenheim Skolem ascendant et le théorème de Löwenheim-Skolem descendant, qui permettent d'établir l'existence d'un modèle d'une cardinalité infinie donnée. Il en existe des énoncés plus ou moins précis, suivant ce que l'on demande au modèle obtenu.

Théorème[modifier | modifier le code]

Une version faible du théorème est la suivante.

Soit T une théorie du calcul des prédicats égalitaire du premier ordre dans un langage L.

Si T admet un modèle infini, ou des modèles finis arbitrairement grands, elle admet un modèle de n'importe quel cardinal infini plus grand que celui de L.
En particulier, quand T est finiment axiomatisable, ou possède un ensemble dénombrable d'axiomes, et admet un modèle infini, elle admet un modèle dénombrable.

Démonstration partielle du cas où T possède des modèles finis de cardinal arbitrairement grand : on peut ajouter au langage un ensemble de constantes (c_i)_{i\in I} de cardinal infini κ, et à la théorie les axiomes c_i \neq c_j pour ij. Toute partie finie de la théorie admet un modèle ; par compacité, on obtient un modèle de cardinal au moins κ.

Une démonstration analogue permet de montrer la partie ascendante du théorème avec la seconde hypothèse, si T possède un modèle infini de cardinal κ, elle possède un modèle de cardinal infini au moins κ', pour tout cardinal infini κ' supérieur ou égal à κ et au cardinal du langage.

La partie descendante (cardinal exactement κ, avec les hypothèses du théorème) se montre en utilisant par exemple le théorème de complétude, ou au minimum la complétion du langage par des témoins de Henkin utilisée dans les versions modernes de la démonstration du théorème de complétude.

Corollaires[modifier | modifier le code]

  • Si on applique le théorème descendant à la théorie des ensembles, par exemple ZFC, ou à une autre théorie axiomatique destinée à fonder les théorèmes de Cantor, on obtient un univers dénombrable de tous les ensembles définis dans ZFC. Mais le théorème de Cantor permet de prouver dans ZFC qu'il existe des ensembles non dénombrables : c'est le paradoxe de Skolem, qui n'est contradictoire qu'en apparence. Le terme « dénombrable » est utilisé dans deux sens différents, au sens de la métathéorie pour « univers dénombrable », au sens de la théorie pour « il existe des ensembles non dénombrables ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions]
  • Jean Ladrière, Le théorème de Löwenheim-Skolem, Cahier pour l'analyse, vol. 10 : La formalisation, 1969. [lire en ligne]