Cosmos (théorie des catégories)
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En mathématiques, et plus spécifiquement en théorie des catégories, un cosmos (au pluriel cosmoi) est une catégorie monoïdale symétrique fermée qui est bicomplète[1]. La notion a été introduite dans les années 1970 et est attribuée au mathématicien français Jean Bénabou[1],[2],[3]. Elle généralise en un sens la construction d'un topos (qui est un modèle pour une théorie des ensembles) afin de faciliter l'étude des catégories enrichies (et des catégories d'ordre supérieur[4]). Les cosmoi ainsi définis (« au sens de Bénabou ») sont utilisés comme base sur laquelle enrichir une catégorie[Note 1].
Exemples
[modifier | modifier le code]- La catégorie des ensembles, étant cartésienne fermée et bicomplète, est un cosmos. Une catégorie « enrichie sur Set » est une catégorie au sens habituel.
- De même la catégorie des catégories est un cosmos. Une catégorie enrichie sur Cat est une 2-catégorie (stricte).
- Toute catégorie de préfaisceaux (dotée de sa structure de catégorie cartésienne) est également un cosmos.
- En particulier c'est le cas de la catégorie des ensembles simpliciaux.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]- Cependant, puisqu'ils requièrent l'existence de toutes les (co)limites et en particulier des (co)limites infinies, des variantes moins exigeantes ont été proposées (e.g. cosmoi « indexés » ne demandant que l'existence de limites finies). Certains auteurs tels que Street prennent une approche différente et introduisent les cosmoi « fibrants », moins généraux que les cosmoi de Bénabou.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Ross Street, « Elementary cosmoi I », dans Category Seminar, Springer Berlin Heidelberg, (ISBN 9783540069669, DOI 10.1007/bfb0063103, lire en ligne), p. 134–180
- Jean Bénabou, Les distributeurs, Rapport No. 33, Séminaires de Math. Pure, Univ. Catholique de Louvain, 1973. Voir §4.
- G. M. Kelly, On the operads of J. P. May, Repr. Theory Appl. Categ. (2005), no. 13, p. 1–13. MR MR2177746 (2006f:18005)
- (en) Emily Riehl et Dominic Verity, « Elements of -category theory »,
