Théorème de la médiane

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En géométrie euclidienne, le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, désigne l'une des trois identités suivantes[1], sur des distances et des produits scalaires, dans un triangle ABC de médiane AI et de hauteur AH :

\begin{align}AB^2+AC^2&=\frac12BC^2+2AI^2,\\
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=AI^2-\frac14BC^2,\\
\left|AB^2 - AC^2\right|&=2BC\times IH.\end{align}

Premier théorème de la médiane ou théorème d'Apollonius[modifier | modifier le code]

Théorème d'Apollonius — Soient (ABC) un triangle quelconque et AI la médiane issue de A. On a alors la relation suivante : AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2 ou encore : AB^2 + AC^2 = {1 \over 2} BC^2 + 2AI^2.

Ce théorème est une reformulation de l'identité du parallélogramme.

Démonstration par le produit scalaire[modifier | modifier le code]

Cette propriété est un cas simple de la réduction de la fonction scalaire de Leibniz : il suffit de faire intervenir le point I dans les deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}, par la relation de Chasles : AB^2 + AC^2 =(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})^2 + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})^2. On développe : AB^2+ AC^2 = AI^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB} + AI^2 + IC^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IC}. Le point I est milieu de [B, C], donc \overrightarrow{IB} et \overrightarrow{IC} sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s'éliminent et IC2 = IB2 donc AB^2+ AC^2 = 2AI^2 + 2IB^2.

Démonstration n'utilisant que les théorèmes sur les distances[modifier | modifier le code]

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Une autre méthode, probablement celle d'Apollonius[réf. nécessaire] (donc non vectorielle), est la suivante.

Soit H le pied de la hauteur issue de A. Les trois triangles AHB, AHC et AHI sont rectangles en H ; en leur appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :

AB^2=AH^2+HB^2,\quad AC^2=AH^2+HC^2\quad{\rm et}\quad AI^2=AH^2+HI^2.

On en déduit :

AB^2+AC^2=HB^2+HC^2+2AH^2=HB^2+HC^2+2(AI^2-HI^2).

On exprime HB et HC en fonction de HI et BI. Quitte à intervertir B et C si nécessaire, on peut toujours supposer que B et H sont du même côté de I. Alors,

HB=|HI-BI|\text{ et }HC=HI+IC=HI+BI.

On peut donc transformer, dans l'expression ci-dessus de AB^2+AC^2, la sous-expression \begin{align}HB^2+HC^2&=(HI-BI)^2+(HI+BI)^2\\
&=HI^2-2HI.BI+BI^2+HI^2+2HI.BI+BI^2\\
&=2HI^2+2BI^2.\end{align}

En remplaçant, on obtient : AB^2+AC^2=2HI^2+2BI^2+2(AI^2-HI^2)=2BI^2+2AI^2.

Généralisation à toute cévienne[modifier | modifier le code]

La démonstration ci-dessus par le produit scalaire se généralise, ce qui permet de démontrer :

Soient (ABC) un triangle, J un point de ]B, C] et k = JC / JB. Alors :

k~AB^2+AC^2=(k+1)(k~BJ^2+AJ^2).

Deuxième théorème de la médiane[modifier | modifier le code]

Deuxième théorème de la médiane — Soient (ABC) un triangle et I le milieu du segment [B, C]. Alors \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AI^2 - \dfrac 14 BC^2.

La démonstration utilise la même décomposition des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} que ci-dessus : \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB})\cdot(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB})=AI^2-IB^2=AI^2-(BC/2)^2.

Théorème de la médiane pour un triangle rectangle[modifier | modifier le code]

Il existe un cas particulier relatif au triangle rectangle.

Théorème de la médiane[2] Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Ce théorème possède une réciproque.

Réciproque du théorème de la médiane[2] Si dans un triangle, la longueur de la médiane issue d'un sommet vaut la moitié de la longueur du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet.

Troisième théorème de la médiane[modifier | modifier le code]

Troisième théorème de la médiane —  Soient (ABC) un triangle et I le milieu du segment [B, C]. On note H le projeté orthogonal de A sur (BC). Alors \left|AB^2-AC^2\right|=2BC\times IH.

Plus précisément : AB^2 - AC^2=2~\overline{BC}~\overline{IH},BC et IH désignent des mesures algébriques par rapport à un même vecteur directeur unitaire de la droite (AB). Il suffit d'utiliser le produit scalaire et les identités remarquables : AB^2-AC^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=2\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{BC}. La projection de \overrightarrow{IA} sur (BC) est \overrightarrow{IH} d'où AB^2-AC^2=2~\overrightarrow{IH}\cdot\overrightarrow{BC}=2~\overline{IH}~\overline{BC}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie : Préparation au CAPES et à l'agrégation, Publibook,‎ 2008 (ISBN 978-2-74834139-3, lire en ligne), p. 185.
  2. a et b COJEREM, Géométrie en situations : 1re/4e notions pour l'élève, De Boeck,‎ 1995 (ISBN 978-2-80412230-0, lire en ligne), p. 191-192.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Théorème de Stewart