Théorème de la médiane

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Le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, est une relation entre la longueur d'une médiane d'un triangle et la longueur de ses côtés.

Il existe plusieurs versions de ce théorème dont certaines font appel au produit scalaire.

Enfin, il existe aussi une relation vectorielle liant les vecteurs portés par les côtés et celui porté par la médiane.

Théorème de la médiane pour un triangle rectangle[modifier | modifier le code]

Il existe un théorème de la médiane relatif au triangle rectangle.

Théorème de la médiane - Dans tout triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Ce théorème possède une réciproque.

Réciproque du théorème de la médiane - Si dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle en le sommet opposé à ce côté.

Premier théorème de la médiane ou théorème d'Apollonius[modifier | modifier le code]

Théorème d'Apollonius — Soit ABC un triangle quelconque, et AI la médiane issue de A. On a alors la relation suivante :

AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,

Ou encore :

AB^2 + AC^2 = {1 \over 2} BC^2 + 2AI^2\,

Démonstration par le produit scalaire[modifier | modifier le code]

Cette propriété est un cas simple de la réduction de la fonction scalaire de Leibniz : Il suffit de faire intervenir le point I dans chacun des deux carrés :

AB^2 + AC^2 =(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})^2 + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})^2

On développe :

AB^2+ AC^2 = AI^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB} + AI^2 + IC^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IC}

Le point I est milieu de [BC], donc \overrightarrow{IB} et \overrightarrow{IC} sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s'éliminent et IC^2 = IB^2 donc

AB^2+ AC^2 = 2AI^2 + 2IB^2 \,

Démonstration n'utilisant que les théorèmes sur les distances[modifier | modifier le code]

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Une autre méthode, probablement celle d'Apollonius (comme il ne connaissait pas la fonction scalaire de Leibniz) est la suivante:

Soit H le pied de la hauteur issue de A. Nous avons BHA et AHC deux triangles rectangles; en y appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
AB^2 = BH^2 + AH^2 \,
AC^2 = AH^2 + HC^2\,
AI^2 = IH^2 + AH^2\,

On obtient donc:

AB^2 + AC^2 = BH^2 + 2AH^2 + HC^2\,

On exprime d'une nouvelle manière BH et HC en fonction de BI et IH (en gardant en tête que I est le milieu de BC et donc BI=IC). Notez aussi que dans ce cas en particulier, le pied H de la hauteur issue de A "atterrit" sur le segment [BI], autrement dit entre B et I, mais cela marche pour tous les cas:

BH = BI - IH \,
HC = IC + IH = BI + IH\,

On remplace maintenant dans l'expression précédente :

AB^2 + AC^2 = (BI-IH)^2 + 2AH^2 + (BI+IH)^2 \,
AB^2 + AC^2 = BI^2 - 2BI.IH+ IH^2 + 2AH^2 + BI^2 + 2BI.IH + IH^2\,
AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2IH^2 + 2AH^2 = 2BI^2 + 2(IH^2 + AH^2) \,

Or, on sait que, d'après les triangles rectangles du départ:

IH^2 + AH^2 = AI^2\,

En remplaçant dans l'égalité précédente, on obtient:

AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,

Deuxième théorème de la médiane[modifier | modifier le code]

Deuxième théorème de la médiane —  Soient (ABC) un triangle et I le milieu du segment [BC]. Alors

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AI^2 - \dfrac 14 BC^2

La démonstration utilise la relation de Chasles et les identités remarquables. il suffit d'exprimer les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} en fonction de \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{IB}.

Troisième théorème de la médiane[modifier | modifier le code]

Troisième théorème de la médiane —  Soient (ABC) un triangle et I le milieu du segment [BC]. On note H le projeté orthogonal de A sur (BC). Alors

\left|AB^2 - AC^2\right| =  2 BC \times IH .

Il suffit d'utiliser le produit scalaire et les identités remarquables :

AB^2 - AC^2 = ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})
AB^2 - AC^2 =2 \overrightarrow{AI} \cdot\overrightarrow{CB}

La projection de \overrightarrow{AI} sur \overrightarrow{BC} est \overrightarrow{HI} d'où

AB^2 - AC^2 =2 \overrightarrow{HI} \cdot\overrightarrow{CB}

Ce produit scalaire de deux vecteurs colinéaires est égal à BC \times IH ou son opposé, d'où la valeur absolue.

Forme vectorielle du théorème de la médiane[modifier | modifier le code]

Soit I le milieu [BC], on a : \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}

Généralisation du théorème de la médiane à toute cévienne[modifier | modifier le code]

Soit ABC un triangle. Une droite issue de A coupe [BC] en I. Soit k = \frac {IC}{IB}. Alors :

AI^2=\frac{k AB^2 + AC^2}{1+k} - IB \times IC


Démonstration par produit scalaire[modifier | modifier le code]

Il suffit de calculer la combinaison des deux carrés :

k AB^2 + AC^2 = k(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})^2 + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})^2.

On développe :

k AB^2+ AC^2 = k(AI^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB}) + AI^2 + IC^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IC}

Le point I est le barycentre de (B, k) et (C, 1), donc k \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}, ce qui élimine les deux produits scalaires.

et IC = k IB donc k IB^2 + IC^2 = k IB^2 + k^2 IB^2 = k(1+k) IB^2 = (1+k) IB \times IC,

d'où

k AB^2+ AC^2 = (1+k) (AI^2 + IB \times IC).

Et le résultat en divisant par 1 + k.

Voir aussi[modifier | modifier le code]