Inégalité (mathématiques)

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En mathématiques, une inégalité est un énoncé permettant de comparer la taille, ou l'ordre de deux objets (dans le cas où ils seraient égaux, on a une égalité)

  • La notation a < b signifie que a est strictement inférieur à b
  • La notation a > b signifie que a est strictement supérieur à b
  • La notation a ≠ b signifie que a et b ne sont pas égaux (on dira plus souvent qu'ils sont différents), mais ne fournit aucune information sur l'ordre de a par rapport à b.

Dans chacun des énoncés précédents, a ne peut pas être égal à b. Ces relations sont alors appelées des inégalités strictes.

On peut aussi trouver des inégalités qui ne sont pas strictes, on parle alors d’inégalité large ou d’inégalité au sens large :

  • La notation a ≤ b signifie que a est inférieur (ou inférieur ou égal) à b
  • La notation a ≥ b signifie que a est supérieur (ou supérieur ou égal) à b[1]

Note : dans le monde anglophone, greater than/superior et less than/inferior correspondent aux inégalités strictes, si l'on veut parler d'inégalités larges on ajoutera systématiquement « or equal »[2]. Cette convention est parfois également utilisée dans les pays francophones en-dehors de la France.

Il existe aussi des notations permettant de dire qu'une quantité est beaucoup plus grande qu'une autre, utilisée notamment en physique :

  • La notation a ≪ b signifie que a est très inférieur à b
  • La notation a ≫ b signifie que a est très supérieur à b

Le sens exact de ces notations dépend de leur domaine d'utilisation, mais on les utilise le plus souvent lorsque le rapport du plus grand nombre sur le plus petit est supérieur à 10.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les inégalités vérifient certaines propriétés. La plupart des propriétés (de transitivité, d'inversion, d'addition ou de soustraction) sont conservées lors du passage à des inégalités larges.

Transitivité[modifier | modifier le code]

Par transitivité des inégalités, on a, pour tous réels a, b, et c:

  • Si a > b et b > c, alors a > c
  • Si a < b et b < c, alors a < c
  • Si a > b et b = c, alors a > c
  • Si a < b et b = c, alors a < c

Addition et soustraction[modifier | modifier le code]

Pour tous réels a, b et c, on a :

  • Si a > b, alors a + c > b + c
  • Si a < b, alors a + c < b + c

ce qui équivaut à dire que l'ensemble des réels est un groupe ordonné.

Multiplication et division[modifier | modifier le code]

Pour tous réels a et b et pour tout réel c non nul, on a :

  • si c est positif et a < b, alors ac < bc et a/c < b/c
  • si c est négatif et a < b, alors ac > bc et a/c > b/c

De telles propriétés sont valables pour tout groupe commutatif ordonné, comme on le verra plus loin.

Passage à l'opposé[modifier | modifier le code]

Pour tous réels a et b, on a :

  • Si a < b, alors −a > −b
  • Si a > b, alors −a < −b

Passage à l'inverse[modifier | modifier le code]

Pour tous réels a et b non nuls, on a :

  • Si a et b sont tous deux de même signe, il y a inversion de l'ordre :
    • Si a < b, alors 1/a > 1/b
    • Si a > b, alors 1/a < 1/b
  • Si a et b ne sont pas du même signe :
    • Si a < b, alors 1/a < 1/b
    • Si a > b, alors 1/a > 1/b

Fonctions et inégalités[modifier | modifier le code]

Toute fonction strictement croissante peut être appliquées aux deux termes d'une inégalité tout en la conservant. Si on applique une fonction strictement décroissante, il faut alors changer le signe de l'inégalité en son opposé.

On peut par exemple appliquer la fonction exponentielle aux deux membres d'une inégalité :

a < b \Leftrightarrow{\rm e}^a <{\rm e}^b.

Corps ordonné[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Corps ordonné.

Si (F, +, ×) est un corps commutatif et ≤ un ordre total sur F, on dit que (F, +, ×, ≤) est un corps ordonné si :

  • pour tout éléments a b et c de F, a ≤ b implique a + c ≤ b + c ;
  • 0 ≤ a et 0 ≤ b implique 0 ≤ a×b.

Les corps (ℚ, +, ×, ≤) et (ℝ, +, ×, ≤) sont des exemples courants de corps ordonnés, mais on ne peut pas définir de relation ≤ sur ℂ tel que (ℂ, +, ×, ≤) soit un corps ordonné.

Les inégalités larges ≤ et ≥ sur les nombres réels sont des relations d'ordre totale. Les inégalités strictes < et > sur les nombres réels sont des relations d'ordre strict.

Succession d'inégalités[modifier | modifier le code]

La notation a < b < c est équivalente à a < b et b < c, d'où l'on peut déduire, avec les propriétés de transitivité, que a < c. Avec les autres propriétés des inégalités, on peut ajouter ou soustraire n'importe quel terme à l'ensemble des termes comparés, ou les multiplier (ou diviser) par un nombre, en faisant attention à changer le signe si nécessaire. Par exemple, a < b + e < c est équivalent à a – e < b < c – e.

On peut généraliser cette notation à un nombre plus important de termes. De fait, a1a2 ≤ ... ≤ an signifie que, pour tout i entre 1 et n − 1, on a aiai+1 Par transitivité, cela signifie alors que l'on a aiaj pour tout 1 ≤ ijn.

Lorsque l'on souhaite résoudre des inéquations utilisant cette notation, il est parfois nécessaire de devoir résoudre celles-ci de façon séparée. Par exemple, on ne peut, pour résoudre l'inégalité 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2, isoler x dans un des termes. Il faut alors résoudre les inéquations séparément, puis de chercher l'intersection des solutions.

On peut aussi observer de telles notations mélangeant plusieurs comparaisons. Ainsi, a < b = c ≤ d signifie que a < b, b = c et que c ≤ d (et donc, par transitivité, que a < d, par exemple)

Inégalités entre moyennes[modifier | modifier le code]

Il existe des inégalités entre les diverses sortes de moyennes. Par exemple, pour des nombres positifs a1, a2, …, an, si

H = \frac{n}{1/a_1 + 1/a_2 + \cdots + 1/a_n} (moyenne harmonique),
G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} (moyenne géométrique),
A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} (moyenne arithmétique),
Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} (moyenne quadratique),

on a : HGAQ.

Une inégalité de l'index[réf. nécessaire][modifier | modifier le code]

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  • Si x > 0, alors
x^x \geqslant \left( \frac1{\rm e}\right)^{1/{\rm e}}.\,
  • Si x > 0, alors
x^{x^x} \geqslant x.\,
  • Si x, y, z > 0, alors
(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2.\,
  • Si x, y, z > 0, alors
x^x y^y z^z \geqslant (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,
  • Si a, b > 0, alors
a^a + b^b \geqslant a^b + b^a.\,
  • Si a, b > 0, alors
a^{ea} + b^{eb} \geqslant a^{eb} + b^{ea}.\,
  • Si a, b, c > 0, alors
a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \geqslant a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}.\,
  • Si a1, ..., an > 0, alors
a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1.\,

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inequality (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Pólya, Inequalities, CUP,‎ 1952, 2e éd. (lire en ligne)