Nombre décimal

Position de l'ensemble des décimaux D par rapport à l'ensemble des entiers relatifs Z et à l'ensemble des rationnels Q

Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité, c'est-à-dire un nombre qui s'écrit avec une quantité quelconque, mais finie, de chiffres derrière la virgule en base 10. Un nombre décimal peut s'exprimer avec les puissances de 10.

Caractérisation

Si a est un nombre réel, les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait que le nombre a est décimal :

1. a admet un développement décimal limité ;
2. il existe un entier relatif m et un entier naturel p tels que $a={\frac {m}{10^{p}}}$ ;
3. on peut écrire a sous la forme d'une fraction irréductible ${\frac {b}{5^{m}\times 2^{p}}}$, où b est un entier relatif, et m et p des entiers naturels ;
4. soit a possède deux développements décimaux distincts, soit a = 0.

Remarques

• La première assertion différencie 1,6666, qui est un nombre décimal, de 1,6666… qui n'en est pas un (ce dernier nombre qui s'écrirait avec une infinité de 6, peut s'écrire 5/3 sous forme de fraction).
• La deuxième assertion nous dit qu'un nombre tel que ${\frac {765}{10^{8}}}$ est un nombre décimal. (Elle peut difficilement être utilisée pour prouver qu'un nombre donné sous forme de fraction n'est pas décimal, parce que la fraction qu'on a mentionnée dans l'énoncé n'est pas nécessairement irréductible).
• La troisième assertion donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible (par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur), puis de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 ou par 5.
• La quatrième assertion confirme une propriété des nombres décimaux qui est parfois considérée comme une « curiosité » : le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999… (avec une infinité de 9). Autrement dit, le développement décimal des nombres décimaux n'est pas unique si on autorise les développements décimaux infinis. Pour plus de détails, voir l'article Développement décimal de l'unité.

Structure algébrique

• L'ensemble des décimaux est souvent noté $\mathbb {D}$.
• L'ensemble des nombres décimaux muni des lois d'addition et de multiplication est noté $(\mathbb {D} ,+,\times )$. C'est un anneau intègre, qui est la localisation de ℤ par rapport à l'ensemble des puissances entières positives de 10. Son corps des fractions est le corps ℚ des nombres rationnels.

Topologie

L'ensemble $\mathbb {D}$ des décimaux est dense dans ℝ. Autrement dit, tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres décimaux. Ce théorème est fréquemment utilisé lors de la recherche de valeurs approchées.

Utilisation

Dans toutes les autres sciences que les mathématiques, les nombres décimaux sont pratiquement les seuls à être utilisés.

C'est dans le but d'harmoniser l'usage des nombres décimaux avec celui des unités de mesure que les révolutionnaires français de 1789 ont été conduits à introduire le système métrique, qui est un système d'unités décimal.

Voir aussi

• Fraction (mathématiques)
• Base (arithmétique), concernant le nombre de chiffres considérés
• Écriture décimale positionnelle
• Virgule flottante, concernant la représentation des nombres décimaux en informatique