Méthodes de quadrature de Gauss

Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, les méthodes de quadrature sont des approximations de la valeur numérique d'une intégrale. En général, on remplace le calcul de l'intégrale par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine d'intégration (voir calcul numérique d'une intégrale pour plus d'informations). La méthode de quadrature de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss, est une méthode de quadrature exacte pour un polynôme de degré 2n-1 avec n points pris sur le domaine d'intégration. Si ce dernier est (a,b), les méthodes sont de la forme

$I = \int_a^b f(x) \varpi(x) \,\mathrm dx \approx \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i)$

où $\varpi : (a, b) \to\mathbb{R}_+$ est une fonction de pondération, qui peut assurer l'intégrabilité de f. Les $\omega_i$ sont appelés les coefficients de quadrature (ou poids). Les points x_i, ou nœuds, sont réels, distincts, uniques et sont les racines de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire $\left\langle f,g \right\rangle = \int_a^b f(x)g(x) \varpi(x) \,\mathrm{d}x$. Les poids et les nœuds sont choisis de façon à obtenir des degrés d'exactitude les plus grands possibles.

Les formules de Gauss jouent un rôle fondamental dans la méthode des éléments finis.

Principe général

On souhaite évaluer numériquement l'intégrale

$I = \int_a^b f(x) \varpi(x) \,\mathrm{d}x$

Le domaine d'intégration (a, b) couvre plusieurs cas :

• intervalles bornés : comme [ a, b], [a, b [, etc.
• demi-droite réelle : [ a, +∞ [, ] -∞, b ],
• la droite réelle tout entière : R.

Théorème fondamental

Démonstration

Montrons que si la formule de la quadrature de Gauss marche, alors les nœuds et les poids sont fixés de manière unique. Supposons donc que nous avons des nœuds $x_i$ et des poids $\omega_i, i=1, \cdots, n$ tels que

Pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à 2n-1, $\int_a^b P(x)\varpi(x) \mathrm dx \; = \; \left\langle P,1 \right\rangle \; = \; \sum_{i=1}^n \omega_i P(x_i)$.

Posons alors $P_n = \Pi_{i=1}^n (x-x_i)$. Il vient $\forall 0\leq k<n, \; \left\langle P_n,x^k \right\rangle = \left\langle x^k P_n, 1 \right\rangle = \sum_{i=1}^n \omega_i x_i^k P_n(x_i) = 0$. Ainsi $P_n$ est orthogonal à tout polynôme de degré inférieur au sien. Il est par conséquent le seul polynôme unitaire de la direction orthogonale aux polynômes de degré $i=1, \cdots, n-1$, dans l'espace vectoriel des polynômes de degré $1, \cdots, n$. L'article sur les polynômes orthogonaux montre alors que $P_n$ a n racines distinctes, ce sont les $x_i$. Les poids $\omega_i$ s'obtiennent ensuite comme fonctions des $x_i$ et de $P_n$.

Le domaine d'intégration et la fonction de pondération déterminent le type de la quadrature de Gauss. Le tableau suivant résume les situations les plus communes.

Principales configurations de quadrature de Gauss

Domaine d'intégration $(a,b)$	Fonction de pondération $\varpi(x)$	Famille de polynômes orthogonaux
$[-1,1]$	1	Legendre
$]-1,1[$	$(1-x)^\alpha (1+x)^\beta \ , \ \alpha, \beta > -1$	Jacobi
$]-1,1[$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	Tchebychev (premier type)
$]-1,1[$	$\sqrt{1-x^2}$	Tchebychev (second type)
$\mathbb{R}^+$	$\mathrm{e}^{-x}$	Laguerre
$\mathbb{R}$	$\mathrm{e}^{-x^2}$	Hermite

Une fois le type de quadrature choisi, la formule à n points s'écrit :

$I(f) = \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i)$

Les nœuds sont déterminés comme les n racines du n ème polynôme orthogonal associé à la formule de quadrature (polynômes de Legendre pour la formule de Gauss-Legendre, etc.).

On définit l'erreur comme $E(f) = |I - I(f)|$. Le degré d'exactitude d'une formule de quadrature est le degré le plus élevé de la famille des polynômes annulant E(f). On a le résultat suivant : une formule à n points admet un degré d'exactitude de 2n-1.

Généralisation pour un intervalle fermé

Le domaine d'intégration [a, b] doit être changé (au moyen d'un changement de variable) en [-1, 1] avant d'appliquer les méthodes de quadrature de Gauss. Le changement se déroule ainsi :

$\int_a^b f(t)\,\mathrm dt = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,\mathrm dx$

L'approximation de la valeur de l'intégrale devient :

$\frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$

Méthodes courantes

Méthode de Gauss-Legendre

Pour le problème d'intégration le plus classique, on utilise la méthode de Gauss-Legendre. Il s'agit d'intégrer la fonction f sur le segment [-1,1]. Les n nœuds sont les racines du n ème polynôme de Legendre, $P_n(x)$, et les coefficients sont donnés par l'une ou l'autre égalité :

$\omega_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)} = \frac{4}{n P_{n+2}(x_i)P'_n(x_{i+2})}$

On peut aussi remarquer que la somme des coefficients est égale à 2. Le tableau suivant donne l'ensemble des informations pour réaliser le calcul approché de I pour les formules à un, deux et trois points.

Nombre de points, n	Poids $(\omega_i)$	Points $(x_i)$	Polynôme de Legendre
1	2	0	$x$
2	1, 1	$-\sqrt{1/3}$, $\sqrt{1/3}$	$\frac{1}{2}(3x^2-1)$
3	5/9, 8/9, 5/9	$-\sqrt{3/5}$, 0, $\sqrt{3/5}$	$\frac{1}{2}(5x^3-3x)$

Exemple

On cherche à déterminer $\int_{-1}^1 (x+1)^2 \mathrm dx$. On cherche à intégrer un polynôme de degré 2, 2 points suffisent pour obtenir la valeur exacte.

$\int_{-1}^1 (x+1)^2 \mathrm dx = 1 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2+1\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2 = \frac 83$

On peut facilement vérifier ce résultat car dans cet exemple, on connaît une primitive de $(x+1)^2$.

$\int_{-1}^1 (x+1)^2 \mathrm dx = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right] ^{1}_{-1}= \frac 83$

Cet exemple ne représente pas un cas pratique. En règle générale, on n'obtient jamais un résultat exact et bien entendu, on n'applique pas ces méthodes pour les fonctions dont on connaît une primitive.

Méthode de Gauss-Tchebychev

Cette formule est associée au poids $\varpi(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ sur ]-1,1[. Pour une formule à n points, les nœuds sont

$x_i = \cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right)$

et les coefficients :

$w_i = \frac{\pi}{n}$

Méthode de Gauss-Laguerre

Cette formule est associée au poids $\varpi(x)=e^{-x}$ sur $\,]0,+\infty[$. Les n nœuds sont les n racines du n^e polynôme de Laguerre L_n, et les coefficients sont

$w_i = \frac{1}{(n+1) L'_{n}(x_i) L_{n+1}(x_i)} \,$

Les coefficients et les nœuds ne peuvent être calculés que pour n petit. Par exemple, pour n = 2 :

n	$x_i\,$	$w_i\,$
2	$2 \pm \sqrt{2}$	$\frac{2\pm\sqrt{2}}{4}$

Maintenant, pour intégrer une fonction $f\,$ sur $\mathbb{R}^+$, il faut remarquer que

$\int_0^{+\infty} f(x) \, \mathrm dx = \int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\varpi(x)} \varpi(x) \, \mathrm dx$

Il reste alors à appliquer la formule de quadrature à la fonction $g(x) = f(x)/\varpi(x)\,$.

Méthode de Gauss-Hermite

Sur R, la formule de Gauss-Hermite est caractérisée par la pondération $\varpi(x)=e^{-x^2}$. Pour une formule à n points, les $x_i$ sont calculés comme les n racines du n ème polynôme d'Hermite H_n ; quant aux pondérations, elles sont obtenues à partir de

$w_i = \frac{2^{n+1} n ! \sqrt{\pi}}{[H_n'(x_i)]^2}$

Concernant l'intégration de f sur $\mathbb{R}$, il suffit d'appliquer la formule de quadrature à la fonction $f(x)e^{x^2}$.

Autres méthodes de quadrature de Gauss

Méthodes de Gauss-Lobatto

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Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Lobatto sur l'intervalle $[a , b]$, on impose parmi les r+1 points de quadrature les deux extrémités de l'intervalle :

$a = x_1 < x_2 < \cdots < x_{r+1} = b$

Pour un ordre de quadrature r, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme dérivé du r-1^e polynôme orthogonal :

$\forall i = 2 , \ldots , r \ , \ P_{r-1}'(x_i) = 0$

Méthodes de Gauss-Radau

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Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Radau sur l'intervalle $[a , b]$, on impose parmi les r+1 points de quadrature une des extrémités :

$a = x_1 < x_2 < \cdots < x_{r+1}$

Par symétrie, on peut également fixer b comme point.

Pour un ordre de quadrature r, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme :

$\frac{P_{r-1}(x) + P_r(x)}{x-a}$

Calcul des points et poids de quadrature

Pour obtenir les points et poids de quadrature pour un ordre élevé, on consultera avec profit l'ouvrage de Abramowitz et Stegun.

Voir aussi

• Calcul intégral (mathématiques élémentaires)
• Méthode des trapèzes
• Méthode de Simpson