Méthodes de quadrature de Gauss

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Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, les méthodes de quadrature sont des approximations de la valeur numérique d'une intégrale. En général, on remplace le calcul de l'intégrale par une somme pondérée prise en un certain nombre de points du domaine d'intégration (voir calcul numérique d'une intégrale pour plus d'informations). La méthode de quadrature de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss[1], est une méthode de quadrature exacte pour un polynôme de degré 2n – 1 avec n points pris sur le domaine d'intégration. Si ce dernier est (a,b), les méthodes sont de la forme

I = \int_a^b f(x) \varpi(x) \,\mathrm dx \approx \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i)

\varpi : (a, b) \to\mathbb{R}_+ est une fonction de pondération, qui peut assurer l'intégrabilité de f. Les \omega_i sont appelés les coefficients de quadrature (ou poids). Les points xi, ou nœuds, sont réels, distincts, uniques et sont les racines de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire  \left\langle f,g \right\rangle = \int_a^b f(x)g(x) \varpi(x) \,\mathrm{d}x . Les poids et les nœuds sont choisis de façon à obtenir des degrés d'exactitude les plus grands possibles.

Les formules de Gauss jouent un rôle fondamental dans la méthode des éléments finis.

Principe général[modifier | modifier le code]

On souhaite évaluer numériquement l'intégrale

I = \int_a^b f(x) \varpi(x) \,\mathrm{d}x.

Le domaine d'intégration (a, b) couvre plusieurs cas :

  • intervalles bornés : comme [a, b], [a, b[, etc.
  • demi-droite réelle : [a, +∞[, ] -∞, b],
  • la droite réelle tout entière : ℝ.

Théorème fondamental[modifier | modifier le code]

Le domaine d'intégration et la fonction de pondération déterminent le type de la quadrature de Gauss. Le tableau suivant résume les situations les plus communes.

Principales configurations de quadrature de Gauss
Domaine d'intégration (a,b) Fonction de pondération \varpi(x) Famille de polynômes orthogonaux
[–1, 1] 1 Legendre
]–1, 1[ (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \ , \ \alpha, \beta > -1 Jacobi
]–1, 1[ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} Tchebychev (premier type)
]–1, 1[ \sqrt{1-x^2} Tchebychev (second type)
+ \mathrm{e}^{-x} Laguerre
\mathrm{e}^{-x^2} Hermite

Une fois le type de quadrature choisi, la formule à n points s'écrit :

 I(f) =   \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i).

Les nœuds sont déterminés comme les n racines du n ème polynôme orthogonal associé à la formule de quadrature (polynômes de Legendre pour la formule de Gauss-Legendre, etc.).

On définit l'erreur comme E(f) = |I - I(f)|. Le degré d'exactitude d'une formule de quadrature est le degré le plus élevé de la famille des polynômes annulant E(f). On a le résultat suivant : une formule à n points admet un degré d'exactitude de 2n – 1.

Généralisation pour un intervalle fermé[modifier | modifier le code]

Le domaine d'intégration [a, b] doit être changé (au moyen d'un changement de variable) en [–1, 1] avant d'appliquer les méthodes de quadrature de Gauss. Le changement se déroule ainsi :


\int_a^b f(t)\,\mathrm dt = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x 
+ \frac{a+b}{2}\right)\,\mathrm dx.

L'approximation de la valeur de l'intégrale devient :


\frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}2.\right)

Méthodes courantes[modifier | modifier le code]

Méthode de Gauss-Legendre[modifier | modifier le code]

Pour le problème d'intégration le plus classique, on utilise la méthode de Gauss-Legendre[2]. Il s'agit d'intégrer la fonction f sur le segment [–1, 1]. Les n nœuds sont les racines du n-ième polynôme de Legendre, Pn(x), et les coefficients sont donnés par l'une ou l'autre égalité :

 
  \omega_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)} = \frac{2}{(1-x_i^2) P'_n(x_i)^2}.

On peut aussi remarquer que la somme des coefficients est égale à 2. Le tableau suivant donne l'ensemble des informations pour réaliser le calcul approché de I pour les formules à un, deux et trois points.

Nombre de points, n Poids (\omega_i) Points (x_i) Polynôme de Legendre
1 2 0 x
2 1, 1 1/3, 1/3 (3x2 – 1)/2
3 5/9, 8/9, 5/9 3/5, 0, 3/5 (5x3 – 3x)/2

Exemple[modifier | modifier le code]

On cherche à déterminer \int_{-1}^1 (x+1)^2 \mathrm dx. On cherche à intégrer un polynôme de degré 2, 2 points suffisent pour obtenir la valeur exacte.

\int_{-1}^1 (x+1)^2 \mathrm dx = 1 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2+1\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2=\frac83.

On peut facilement vérifier ce résultat car dans cet exemple, on connaît une primitive de (x + 1)2 :

\int_{-1}^1 (x+1)^2 \mathrm dx = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right] ^{1}_{-1}=\frac83.

Cet exemple ne représente pas un cas pratique. En règle générale, on n'obtient jamais un résultat exact et bien entendu, on n'applique pas ces méthodes pour les fonctions dont on connaît une primitive.

Méthode de Gauss-Tchebychev[modifier | modifier le code]

Cette formule est associée au poids \varpi(x)=(1-x^2)^{-1/2} sur ]–1, 1[. Pour une formule à n points[3], les nœuds sont

x_i = \cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right)

et les coefficients :

w_i = \frac{\pi}n.

Méthode de Gauss-Laguerre[modifier | modifier le code]

Cette formule est associée au poids \varpi(x)={\rm e}^{-x} sur ]0, +∞[. Les n nœuds sont les n racines du ne polynôme de Laguerre Ln, et les coefficients sont

w_i = \frac{1}{(n+1) L'_{n}(x_i) L_{n+1}(x_i)} .

Les coefficients et les nœuds ne peuvent être calculés analytiquement que pour n petit[4]. Par exemple, pour n = 2 :

n x_i\, w_i\,
2 2 \pm \sqrt{2} \frac{2\pm\sqrt{2}}{4}

Maintenant, pour intégrer une fonction f sur ℝ+, il faut remarquer que

\int_0^{+\infty} f(x) \, \mathrm dx = \int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\varpi(x)} \varpi(x) \, \mathrm dx.

Il reste alors à appliquer la formule de quadrature à la fonction g(x) = f(x)/\varpi(x).

Méthode de Gauss-Hermite[modifier | modifier le code]

Sur ℝ, la formule de Gauss-Hermite est caractérisée par la pondération \varpi(x)={\rm e}^{-x^2}. Pour une formule à n points[5], les xi sont calculés comme les n racines du n-ième polynôme d'Hermite Hn ; quant aux pondérations, elles sont obtenues à partir de

w_i = \frac{2^{n+1} n ! \sqrt{\pi}}{[H_n'(x_i)]^2}.

Concernant l'intégration de f sur ℝ, il suffit d'appliquer la formule de quadrature à la fonction f(x){\rm e}^{x^2}.

Autres méthodes de quadrature de Gauss[modifier | modifier le code]

Méthodes de Gauss-Lobatto[modifier | modifier le code]

Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Lobatto (en) sur l'intervalle [a, b], on impose parmi les r + 1 points de quadrature les deux extrémités de l'intervalle :

a = x_1 < x_2 < \cdots < x_{r+1} = b.

Pour un ordre de quadrature r, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme dérivé du r-1e polynôme orthogonal :

\forall i = 2 , \ldots , r \ , \ P_{r-1}'(x_i) = 0.

Méthodes de Gauss-Radau[modifier | modifier le code]

Pour le cas des méthodes de quadrature de Gauss-Radau sur l'intervalle [a, b], on impose parmi les r+1 points de quadrature une des extrémités :

a = x_1 < x_2 < \cdots < x_{r+1}.

Par symétrie, on peut également fixer b comme point.

Pour un ordre de quadrature r, les points intérieurs de quadrature deviennent alors les zéros du polynôme :

\frac{P_{r-1}(x) + P_r(x)}{x-a}.

Calcul des points et poids de quadrature[modifier | modifier le code]

Pour obtenir les points et poids de quadrature pour un ordre élevé, on consultera avec profit l'ouvrage d'Abramowitz et Stegun[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Gauss a publié les principes de cette méthode dans Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Göttingen, Heinrich Dietrich,‎ 1815.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Legendre-Gauss quadrature », MathWorld.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Chebyshev-Gauss quadrature », MathWorld.
  4. (en) Eric W. Weisstein, « Laguerre-Gauss quadrature », MathWorld.
  5. (en) Eric W. Weisstein, « Hermite-Gauss quadrature », MathWorld.
  6. (en) Abramowitz et Stegun, Handbook of Mathematical Functions, pages 875 et suivantes.

Voir aussi[modifier | modifier le code]