Formule de Newton-Cotes

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En analyse numérique, les formules de Newton-Cotes, du nom d'Isaac Newton et de Roger Cotes, servent au calcul numérique d'une intégrale sur un intervalle réel [a, b], ceci à l’aide d’une interpolation polynomiale de la fonction en des points répartis uniformément.

Méthodologie[modifier | modifier le code]

La fonction f est évaluée en des points équidistants xi = a + iΔ, pour i = 0, … , n et Δ = (b – a)/n. La formule de degré n est définie ainsi :

\int_a^b f(x)~{\rm d}x \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)

où les wi sont appelés les coefficients de quadrature. Ils se déduisent d'une base de polynômes de Lagrange et sont indépendants de la fonction f.

Plus précisément, si L(x) est l'interpolation lagrangienne aux points (xi, f(xi)), alors

\begin{align}\int_a^b f(x)~{\rm d}x \approx \int_a^b L(x)~{\rm d}x
&= \int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x)~{\rm d}x\\
&=\sum_{i=0}^n \int_a^b f(x_i) l_i(x)~{\rm d}x\\
&=\sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)~{\rm d}x}_{w_i}.\end{align}

Instabilité[modifier | modifier le code]

Bien qu’une formule de Newton-Cotes puisse être établie pour n'importe quel degré, elle peut conduire à une instabilité où la convergence n’est pas assurée lorsque le degré augmente. Ces manifestations proviennent du phénomène de Runge. Pour cette raison, il est préférable de se restreindre aux premiers degrés.

Premières formules de Newton-Cotes[modifier | modifier le code]

Soit un intervalle [a, b] de longueur D = b – a séparé en n intervalles de longueur h =  \frac{D}{n}, les formules relatives aux premiers ordres sont résumées dans le tableau suivant :

Degré Nom commun Formule Terme d'erreur
0 Méthode du point médian  D \, f_{1/2}  \frac{D^3}{24}\,f^{(2)}(\xi)
1 Méthode des trapèzes  \frac{D}{2} (f_0 + f_1) -\frac{D^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)
2 Méthode de Simpson 1/3  \frac{D}{6} (f_0 + 4 f_1 + f_2) -\frac{D^5}{2880}\,f^{(4)}(\xi)
3 Méthode de Simpson 3/8    \frac{D}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3) -\frac{D^5}{6480}\,f^{(4)}(\xi)
4 Méthode de Boole-Villarceau    \frac{D}{90} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4) [1] -\frac{D^7}{1935360}\,f^{(6)}(\xi)
6 Méthode de Weddle (en)-Hardy    \frac{D}{840} (41 f_0 + 216 f_1 + 27 f_2 + 272 f_3 + 27 f_4 + 216 f_5 + 41 f_6)[1] -\frac{C_7 D^7}{7! \times 2^9}\,f^{(7)}(\xi)


Pour les ordres supérieurs:

Degré Nombre de points Formule Terme d'erreur
7 Méthode à 8 points[2]  \frac{7 h}{17 280} (751 (f_0+f_7) + 3577 ( f_1+f_6) + 1323 (f_2+f_5) + 2989 (f_3 + f_4)) -\frac{8183}{518 400}h^9\,f^{(8)}(\xi)
8 Méthode à 9 points[2]  \frac{4 h}{14 175} (989 (f_0+f_8) + 5888 ( f_1+f_7) -928 (f_2+f_6)+ 10496 f_5) -\frac{2 368}{467 775} h^{11}\,f^{(10)}(\xi)
9 Méthode à 10 points[2]  \frac{9 h}{89 600} ( 2857 (f_0+f_9) + 15 741 (f_1+f_8)+1080 (f_2+f_7)+ 19 344( f_3+f_6)+5778(f_4+f_5)) -\frac{173}{14 620} h^{11}\,f^{(10)}(\xi)
10 Méthode à 11 points[2]  \frac{5 h}{299 376} (16067 (f_0+f_{10}) + 106300 (f_1+f_9) - 48525 (f_2+f_8) + 272400 (f_3+f_7) -260550 (f_4+f_6) + 427368 f_5) -\frac{1 346 350}{326 918 592} h^{13}\,f^{(12)}(\xi)

Les formules d'ordre supérieur à 6 ne sont pas utilisées, principalement parce que certains coefficients de la méthode sont alors négatifs et peuvent causer des erreurs d'arrondi[1]. Toutefois, la méthode de Newton-Cotes d'ordre 8 est employée dans le livre Computer Methods for Mathematical Computations, de Forsythe, Malcolm et Moler, qui a joui d'un succès certain dans les années 70 et 80. Elle y apparaît sous la forme d'une méthode adaptative : QUANC8[3].

Démonstration[modifier | modifier le code]

Le polynôme L(x) interpolant f est caractérisé par : L(x)=v_n(x)\sum_{i=0}^n\frac{y_i}{(x-x_i)v'_n(x_i)}v_n(x)=\prod^{n}_{j=0}(x-x_j). Ainsi w_i=\int_a^b\frac{v_n(x)}{(x-x_i)v'_n(x_i)}~{\rm d}x. Le changement de variable y=\frac{x-a}{h} conduit à l'expression : w_i=\frac{(b-a)}{n}\frac{(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}\int_0^n\prod_{k=0,k\ne i}^n(y-k)~{\rm d}y.

Application pour n = 1[modifier | modifier le code]


\begin{matrix}
w_0 &=& (b-a) \frac{(-1)^{1-0}}{0!(1-0)!} \int_0^1 \prod_{k=0,k \ne 0}^1 (y - k)~{\rm d}y  \\
    &=& -(b-a) \int_0^1(y-1)~{\rm d}y \\
    &=& -(b-a) \left[ \frac{(y-1)^2}{2} \right]^1_0 \\
    &=& \frac{b-a}2.
\end{matrix}

Idem pour w_1 = \frac{b-a}2.

Référence[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, EDP Sciences, coll. « Grenoble Sciences »,‎ 2006 (ISBN 978-2-75980112-1, lire en ligne), p. 63.
  2. a, b, c et d Weisstein, Eric W. "Newton-Cotes Formulas." From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  3. Code source de QUANC8

Lien externe[modifier | modifier le code]

Formules de Newton-Cotes sur Math-Linux.com