Lemme de Gauss (théorie des nombres)

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Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition pour qu'un entier soit un résidu quadratique. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses preuves de la loi de réciprocité quadratique[1],[2] et est utilisé dans plusieurs des nombreuses preuves ultérieures de cette loi[3].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient p un nombre premier impair et a un entier non divisible par p.

On considère les entiers

a,2a,3a,\dots,\frac{p-1}{2}a

et leurs plus petits résidus positifs modulo p.

Parmi ces (p – 1)/2 entiers distincts compris entre 1 et p – 1, soit n le nombre de ceux qui sont plus grands que p/2. Alors

\left(\frac ap\right) = (-1)^n,

\left(\frac ap\right) est le symbole de Legendre.

Application[modifier | modifier le code]

Les deux « lois complémentaires » de la loi de réciprocité quadratique se déduisent du lemme de Gauss par simple évaluation de n en fonction de p pour a = –1 et a = 2.

Preuve[modifier | modifier le code]

Une preuve assez simple de ce lemme peut être déduite du principe utilisé pour la démonstration du petit théorème de Fermat. Pour cela, évaluons modulo p le produit suivant :

Z = a \cdot 2a \cdot 3a\ldots\frac{p-1}2a,

de deux manières différentes.

Premièrement, ce produit vaut :

Z = a^{(p-1)/2} \left(1 \cdot 2 \cdot 3\ldots\frac{p-1}2 \right).

La seconde façon d'évaluer Z est plus délicate. Si x, compris entre 1 et p – 1, est le résidu modulo p d'un entier y, définissons la « valeur absolue » de y comme

|y| = \begin{cases} x & \mbox{si } 1 \leq x \leq \frac{p-1}2, \\p-x & \mbox{si } \frac{p+1}2 \leq x \leq p-1. \end{cases}

Comme n dénombre les multiples ka dont le résidu se trouve dans le second intervalle, on a :

Z\equiv(-1)^n \left(|a| \cdot |2a| \cdot |3a|\ldots\left|\frac{p-1}2a\right|\right)\pmod p.

Maintenant, observons que les valeurs |ra| sont distinctes pour r = 1, 2, … , (p – 1)/2. En effet, si |ra| = |sa|, alors ra ≡ ±sa (mod p), d'où (comme a est inversible modulo p) r ≡ ±s (mod p), donc r et s sont égaux (car ils appartiennent tous deux à l'intervalle 1 ≤ r ≤ (p – 1)/2). Mais il y en a exactement (p – 1)/2, donc cette suite est une permutation des entiers 1, 2, … , (p – 1)/2. On obtient :

Z\equiv(-1)^n \left(1 \cdot 2 \cdot 3\ldots\frac{p-1}2\right)\pmod p.

En comparant avec notre premier calcul, on peut supprimer les facteurs inversibles modulo p :

1 \cdot 2 \cdot 3\ldots\frac{p-1}2

ce qui nous donne

a^{(p-1)/2}\equiv(-1)^n\pmod p.

Ceci est le résultat souhaité, car d'après le critère d'Euler, la partie de gauche n'est qu'une réécriture modulo p du symbole de Legendre (a/p).

Autre preuve, par la théorie du transfert[modifier | modifier le code]

De par sa définition, l'application qui à a associe (–1)n est un morphisme de transfert du groupe abélien G = (ℤ/pℤ)* dans le sous-groupe Q = {–1, +1}. D'après le théorème d'évaluation du transfert, on en déduit que l'image de a par ce morphisme est égale à amm désigne l'indice de Q dans G, c'est-à-dire m = (p – 1)/2, ce qui conclut.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (la) C. F. Gauss, « Theorematis arithmetici demonstratio nova », dans Comment. Soc. regiae sci. Göttingen, XVI, 1808
  2. (la) C. F. Gauss, « Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae », 1818
  3. (en) Franz Lemmermeyer (de), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Springer,‎ 2000 (ISBN 978-3-540-66957-9), chap. 1

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lemme de Zolotarev

Lien externe[modifier | modifier le code]

Une démonstration en ligne