Lemme de Gauss (polynômes)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss.

En mathématiques il existe un résultat appelé lemme de Gauss s'appliquant à la théorie des polynômes. Il énonce que si un polynôme P à coefficients entiers est factorisé en deux polynômes à coefficients rationnels non constants, ceux-ci sont proportionnels à des polynômes à coefficients entiers dont le produit est égal à P.

Il existe une variante de ce lemme, stipulant un résultat analogue si l'anneau est factoriel. Il permet de démontrer le caractère factoriel de l'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau factoriel, précisant le type d'arithmétique des polynômes disponible pour ce cas particulier. Une démonstration du cas général est présenté dans l'article « Anneau factoriel ».

Ce lemme apparaît dans les Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, à l'article 42, sous la forme d'une proposition contraposée[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — Soient deux polynômes x^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0 et x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0.

Si leurs coefficients a_0,a_1 ,a_2,\ldots,a_{m-1},b_0,b_1,b_2,\ldots b_{n-1} sont tous rationnels, sans être tous entiers,

alors leur produit a au moins un coefficient qui n'est pas entier.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Anneau factoriel.

Une version de ce lemme est valide dans n'importe quel anneau factoriel A (c'est-à-dire possédant une bonne théorie de la divisibilité) à la place de l'anneau des entiers[2].

Voici l'équivalent du lemme de Gauss dans le cas général :

Théorème — Soient A un anneau factoriel et K son corps de fractions, un polynôme non constant P à coefficients dans A est irréductible dans A[X] si et seulement s'il est primitif et irréductible dans K[X].

Pour le démontrer, on définit d'abord le concept de polynôme primitif de A[X] comme un polynôme dont tous les coefficients sont premiers entre eux. On considère alors K le corps des fractions de A, et on montre que tout polynôme P s'écrit comme le produit d'une constante et d'un polynôme primitif de A[X]. Cette constante est appelée contenu du polynôme et n'est définie qu'à un facteur inversible de A près. Le contenu du polynôme P est en fait le plus grand dénominateur commun dans l'anneau A des coefficients de P. On démontre alors, dans l'article détaillé, le théorème suivant qui exprime la multiplicativité du contenu :

Théorème — Soient A un anneau factoriel. Soient P et Q deux polynômes à une variable à coefficients dans A. Alors :

\operatorname{cont}(PQ)= \operatorname{cont}(P) \operatorname{cont}(Q).

Un corollaire de ce lemme de Gauss est que pour tout anneau factoriel A, l'anneau des polynômes en plusieurs indéterminées A [X_1, X_2, ..., X_n] est aussi factoriel. Le lemme de Gauss peut aussi être utilisé pour démontrer le critère d'irréductibilité d'Eisenstein. Il permet enfin de démontrer que les polynômes cyclotomiques (unitaires à coefficients entiers) sont irréductibles.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Quand l'anneau A est celui des entiers, le contenu est choisi toujours positif. Cette convention est toujours possible à remplir, quitte à multiplier le polynôme et le contenu par -1.

Notons maintenant f et g les deux polynômes unitaires de l'énoncé. Les contenus sont donc tous deux inférieurs à 1, et l'un des deux est même strictement inférieur à 1, puisque l'un des polynômes n'est pas à coefficients entiers. Le contenu du produit f.g, qui est égal au produit des contenus, est donc strictement inférieur à 1, ce qui prouve que f.g n'est pas à coefficients entiers.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Cité d'après la traduction française faite par Poullet-Delisle de 1807 (le traducteur utilise le mot « fonctions » à la place de « polynômes »).
  2. Voir Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], V, §6 (éd. ang. p. 126-128).

Références[modifier | modifier le code]