Méthode de Simpson

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En analyse numérique, la méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson est une technique de calcul numérique d'une intégrale, c'est-à-dire, le calcul approché de :

 \int_{a}^{b} f(x) dx

Cette méthode utilise l'approximation d'ordre 2 de f par un polynôme quadratique P prenant les mêmes valeurs que f aux points d'abscisse a, b et m= a+b/2. Pour déterminer l'expression de cette parabole (polynôme de degré 2), on utilise l'interpolation lagrangienne. Le résultat peut être mis sous la forme :

P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+
f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+
f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}

Un polynôme étant une fonction très facile à intégrer, on approche l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a,b], par l'intégrale de P sur ce même intervalle. On a ainsi, la simple formule :

 \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \int_{a}^{b} P(x) dx = \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]
La courbe rouge représente le polynôme d'approximation P(x).

Un autre moyen d'arriver à ce résultat est d'appliquer les formules de Newton-Cotes avec n=2.

Si f est 4 fois continument différentiable sur [a,b], l'erreur d'approximation vaut :

-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi), \xi \in [a,b]h=\frac{b-a}{2}

Cette expression du terme d'erreur signifie que la méthode de Simpson est exacte (c'est-à-dire que le terme d'erreur s'annule) pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3. De plus, cette méthode est d'ordre 4 pour toute fonction continûment dérivable quatre fois sur [a,b].

Par ailleurs, il apparait que plus l'intervalle est petit, plus l'approximation de la valeur de l'intégrale est bonne. Par conséquent, pour obtenir un résultat correct, on subdivise chaque intervalle [a,m] et [m,b] en sous-intervalles et on additionne la valeur obtenue sur chaque intervalle. Soit :

\int_a^b f(x) dx\approx 
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+
4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)
\bigg],

où :

  • n est le nombre de sous-intervalles de [a,b] avec n pair,
  • h= (b-a)/n est la longueur de ces sous-intervalles
  • x_i=a+ih pour i=0, 1, \dots, n-1, n.

Pour cette formule composite, le terme d'erreur devient égal à

-n \times \frac{h^5}{180}f^{(4)}(\xi'), \xi' \in [a,b]

ce qui signifie que la méthode composite fournit aussi des résultats exacts pour des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

À la fois à cause de sa simplicité de mise en œuvre, et de sa bonne précision, cette méthode est la plus utilisée par les calculatrices pour tous calculs approchés d'intégrales de fonctions explicites.

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