Faisceau gaussien

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En optique, un faisceau gaussien est une solution particulière de l'équation de propagation de Helmholtz (au même titre qu'une onde plane) dans le cadre de l'approximation paraxiale. Ce modèle produit une meilleure description de rayonnements cohérents comme les faisceaux lasers bien qu'il soit incomplet dans le traitement de la diffraction.

Plus spécifiquement, un faisceau gaussien est un faisceau dont l'évolution du profil transversal d'amplitude en fonction de la propagation spatiale est proportionnel à une fonction gaussienne, par exemple une fonction de Gauss-Hermite.

Définitions d'un faisceau gaussien[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs façons de définir un faisceau gaussien. Historiquement, les faisceaux gaussiens ont été utilisés en optique comme une solution de l'équation de propagation dans le cadre de l'approximation paraxiale. L'approximation paraxiale suppose une faible divergence du faisceau par rapport à son axe de propagation. L'angle de divergence maximal généralement admis est de l'ordre de 20 degrés.

D'autres approches provenant de l'électromagnétisme permettent d'obtenir une formulation de faisceaux gaussiens. Ainsi, on peut définir les faisceaux gaussiens monomodes et multimodes comme étant un cas particulier dans l'approximation paraxiale d'un ou plusieurs point source complexe[1].

Une autre solution peut consister à étendre le formalisme des rayons de l'optique géométrique aux rayons complexes, c'est-à-dire à des rayons dont la position, la direction et la matrice de courbure peuvent être complexes[2].

Enfin, on peut également définir un faisceau gaussien à partir de sa représentation spectrale. En définissant un champ dont l'amplitude est gaussienne sur un plan, on peut exprimer en utilisant un spectre d'ondes planes de cette distribution d'amplitude le champ propagé en un point quelconque[3].

Propagation des faisceaux gaussiens[modifier | modifier le code]

Le champ électrique complexe d'un faisceau gaussien mesuré (en volts par mètre) à \, r du centre du faisceau et à \, z de son origine est :

E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ ,

Et la distribution de l'intensité moyenne temporelle (ou radiance), mesurée en watts par mètre carré est :

I(r,z) =  { |E(r,z)|^2  \over  2 \eta   }  = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ ,

Où :

  • \, i^2 = -1 , nombre imaginaire
  • \, k = { 2 \pi  \over   \lambda  } est le nombre d'onde (en radians par mètre).
  • \, w(z) est la distance au centre de l'axe du faisceau où l'amplitude du champ électrique est multiplié par 1/e, ce qui correspond à une multiplication de l'intensité par (1/e)2. Ce paramètre est appelé la largeur du faisceau.
  • E0 et I0 sont respectivement l'amplitude et l'intensité du champ électrique au centre du faisceau à l'origine. C'est-à-dire E_0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  |E(0,0)| et I_0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  I(0,0)
  • \eta  \, est la constante caractéristique de l'impédance du média traversé par l'onde. L'impédance caractéristique du vide,  \eta = \eta_0 \approx 377 \ \mathrm{ohms}

Paramètres du faisceau[modifier | modifier le code]

La géométrie et le comportement d'un faisceau gaussien dépend de divers paramètres que l'on va définir ci-dessous.

Largeur de Faisceau[modifier | modifier le code]

Gaussianbeam.png

Pour un faisceau gaussien se propageant dans le vide, la largeur du faisceau \,w(z) sera à une valeur minimale de w0 à son origine. Pour une longueur d'onde λ et à une distance z le long de l'axe du faisceau, la variation de la largeur du faisceau sera :

w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_0} \right)}^2 }  \ .

Où l'origine de l'axe z est définie, sans perte de généralité, comme le point d'origine et :

z_0 = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}

C'est ce qu'on appelle la portée de Rayleigh ou la profondeur de champ.

Portée de Rayleigh et paramètre confocal[modifier | modifier le code]

À une distance de l'origine égale à z0, la largeur du faisceau w est :

 w(\pm z_0) = w_0 \sqrt{2} \,

La distance en + et - z0 est appelé le paramètre confocal :

b = 2 z_0 = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .

Rayon de courbure[modifier | modifier le code]

R(z) est le rayon de courbure du front d'onde du faisceau. Sa valeur est une fonction de la position comme :

R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_0}{z} \right)}^2 } \right] \ .

Divergence du faisceau[modifier | modifier le code]

Le paramètre w(z) s'approche d'une ligne droite pour z \gg z_0. L'angle entre cette ligne droite et L'axe central du faisceau est appelé la divergence du faisceau. Elle est donnée par :

\tan{\theta} \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad  (\theta \mathrm{\ en\ radians.})

L'angle d'ouverture du faisceau depuis son origine est donc :

\Theta = 2 \theta\
  • Cette propriété d'un faisceau gaussien rend un faisceau laser très évasé si à son origine il a un diamètre très petit. Pour qu'il reste constant sur une grande distance, il faut donc que ce faisceau soit de grand diamètre à son origine.
  • Comme le modèle gaussien utilise une approximation paraxiale, il ne s'applique plus lorsque l'on regarde en un point où le front d'onde fait plus de 30° avec la direction de propagation[4]. À partir de la définition de la divergence, ceci veut dire que le modèle gaussien n'est valide que pour un faisceau avec une largeur à l'origine de plus que 2λ/π.
  • La qualité d'un faisceau est calculée par le produit de sa divergence et de sa largeur à l'origine. Ce nombre obtenu sur un faisceau réel est comparé à celui d'un faisceau idéal gaussien de même longueur d'onde. Le rapport de ces deux nombres est appelé le et doit tendre vers 1 idéalement.

Phase de Gouy[modifier | modifier le code]

Le délai longitudinal de la phase de l'onde ou Phase de Gouy du faisceau est :

\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_0} \right) \ .

Paramètre complexe du faisceau[modifier | modifier le code]

Comme le champ électrique comporte une partie imaginaire :

 q(z) =  z + q_0  = z + iz_0 \ .

Qu'on calcule souvent comme :

  { 1 \over q(z) }   =   { 1 \over z + iz_0 } =   { z \over z^2 + z_0^2  }  -  i  { z_0 \over z^2 + z_0^2  } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z)  }

Le Z complexe obtenu joue un rôle crucial dans l'analyse des propriétés du faisceau gaussien, spécialement dans celle des cavités résonantes et les matrices de transfert de rayonnement.

Puissance et intensité[modifier | modifier le code]

Puissance par une ouverture[modifier | modifier le code]

La puissance P (en watts) passant par un trou de rayon r dans un plan transverse à la propagation et à une distance z est :

  P(r,z) =  P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\qquad \begin{cases} \end{cases} P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2 est la puissance totale transmise par le faisceau.

On trouve que :

  • Pour un trou de rayon r = w(z) \, , la fraction de la puissance transmise est :
{ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0,865\ .
  • Environ 95 % de la puissance du faisceau passera par un trou ayant r = 1,224\cdot w(z) \, .

Intensité moyenne et maximale[modifier | modifier le code]

L'intensité maximale sur l'axe du faisceau à \, z de l'origine est calculée en utilisant la règle de L'Hôpital pour l'intégration de la puissance comprise dans le cercle de rayon \, r divisé par la surface sous-tendue par \, \pi r^2 :

I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} 
         = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} 
         = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.

La puissance maximale est donc le double de la puissance moyenne obtenue par la division de la puissance totale par \pi w^2(z).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Deschamps, G.A. Gaussian beams as a bundle of complex rays, Electronics Lett, Vol. 7, pp. 684-685, 1971.
  2. Deschamps, G. Ray Techniques in electromagnetics Proc. of the IEEE, Vol. 60, pp. 1022-1035, 1972.
  3. Martin, D.H. & Bowen, J.W. Long-Wave Optics IEEE Trans. Antenna Propagat., Vol. 41, pp. 1676-1690, 1993.
  4. Siegman (1986) p. 630.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Saleh, Bahaa E. A. et Teich, Malvin Carl (1991): Fundamentals of Photonics, Chapitre 3, "Beam Optics," pp. 80–107, publié par John Wiley & Sons. New York, ISBN 0-471-83965-5.
  • (en) Siegman, Anthony E. (1986): Lasers, Chapitre 6, publié par University Science Books, ISBN 0-935702-11-3
  • (en) Yariv, Amnon (1989): Quantum Electronics, 3rd Edition, publié par Wiley, ISBN 0-471-60997-8

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]