Interpolation lagrangienne

En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph-Louis Lagrange, permettent d'interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds. Cette technique d'interpolation polynomiale a été découverte par Edward Waring en 1779 et redécouverte plus tard par Leonhard Euler en 1783. C'est un cas particulier du théorème des restes chinois.

Définition

Cette image montre, pour 4 points ((-9, 5), (-4, 2), (-1, -2), (7, 9)), l'interpolation polynomiale L(x) (de degré 3), qui est la somme des polynômes de base y_0.l₀(x), y_1.l₁(x), y_2.l₂(x) et y_3.l₃(x). Le polynôme d'interpolation passe par les 4 points de contrôle, et chaque polynôme de base passe par son point de contrôle respectif et vaut 0 pour les x correspondant aux autres points de contrôle.

On se donne $n+1$ points $(x_0, y_0),\dots,(x_n, y_n)$ (avec les $x_i$ distincts deux à deux). On se propose de construire un polynôme de degré minimal qui aux abscisses $x_i$ prend les valeurs $y_i$, ce que la méthode suivante permet de réaliser.

L'étude suivante propose de montrer que le polynôme $L(X) = \sum_{j=0}^{n} y_j \left( \prod_{i=0, i\neq j}^{n} \frac{X-x_i}{x_j-x_i} \right)$ est le seul polynôme de degré au plus n à satisfaire cette propriété.

Polynômes de Lagrange

Les polynômes de Lagrange associés à ces points sont les polynômes définis par :

$l_i(X) = \prod_{j=0, j\neq i}^{n} \frac{X-x_j}{x_i-x_j} = \frac{X-x_0}{x_i-x_0} \cdots \frac{X-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}} ~ \frac{X-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}} \cdots \frac{X-x_{n}}{x_i-x_{n}}.$

On a en particulier deux propriétés :

1. $l_i$ est de degré $n$ pour tout $i$
2. $l_i(x_j) = \delta_{i,j}, 0 \leq i,j \leq n$ c'est-à-dire $l_i(x_i) = 1$ et $l_i(x_j) = 0$ pour $j\ne i$

Polynôme d'interpolation

Le polynôme défini par $L(X) = \sum_{j=0}^{n} y_j l_j(X)$ est l'unique polynôme de degré au plus $n$ vérifiant $L(x_i)=y_i$ pour tout $i$.

En effet :

• d'une part $L(x_i) = \sum_{j=0}^{n} y_j l_j(x_i) = y_i$ ;
• d'autre part, étant combinaison linéaire de polynômes de degré $n$, $L$ est de degré au plus $n$ ; si un autre polynôme $Q$ vérifie ces propriétés, alors $L-Q$ est de degré au plus $n$ et il s'annule en $n+1$ points distincts (les $x_k$) : $L-Q$ est donc nul, ce qui prouve l'unicité.

Exemple

Pour les points $(x_{1}=1,y_{1}=3),(x_{2}= -1,y_{2}=2),(x_{3}=2,y_{3}= -1)$ On calcule d'abord les multiplicateurs de Lagrange :

• $l_{1}(x)=\frac{(X+1)(X-2)}{(1+1)(1-2)}= - \frac{1}{2} (X^{2}-X-2)$
• $l_{2}(x)\frac{(X-1)(X-2)}{(-1-1)(-1-2)}= \frac{1}{6} (X^{2}-3X+2)$
• $l_{3}(x)\frac{(X-1)(X+1)}{(2-1)(2+1)}= \frac{1}{3} (X^{2}-1)$

Puis on calcule la fonction polynomiale passant par ces points

• $P(X) = 3 l_{1} (x) + 2 l_{2} (x) - l_{3} (x)$
• $P(X) = - \frac{3}{2} X^{2} + \frac{1}{2} X + 4$

Autre écriture

Posons $N(X)=\prod^{n}_{j=0}(X-x_j)$. On a $N(x_i)=0$ et, en utilisant la formule de Leibniz $N'(X)=\sum^{n}_{j=0}\prod^{n}_{i=0,i\ne j}(X-x_i)$.

En particulier, comme tous les produits sont nuls en $x_k$ sauf un  : $N'(x_k)=\prod^{n}_{i=0,i\ne k}(x_k-x_i)$.

Ainsi $l_i(X)={N(X) \over N'(x_i)(X-x_i)}$

On peut utiliser $N$ pour traduire l'unicité : si $Q$ vérifie $Q(x_i)=y_i$ pour tout $i$ alors $Q-L$ s'annule aux points $x_i$ donc est un multiple de $N$. Il est donc de la forme $Q(X)=L(X)+N(X).P(X)$ où $P$ est un polynôme quelconque.

Base de polynômes

On se donne $n+1$ scalaires distincts $x_0,\ldots,x_n$. Pour tout polynôme $P$ appartenant à $K_n[X]$, si on pose $y_i=P(x_i)$, $P$ est le polynôme d'interpolation correspondant aux points : il est égal au polynôme $L$ défini ci-dessus.

On a donc $P(X)=\sum_{j=0}^{n} P(x_j) l_j(X)$ donc $(l_0,l_1,\dots,l_n)$ forme une famille génératrice de $K_n[X]$. Comme son cardinal (égal à $n+1$) est égal à la dimension de l'espace, elle en est une base.

Exemples : en choisissant $P=1$ ou $P=X$ on a

1. $1=\sum_{j=0}^{n} l_j(X)$
2. $X=\sum_{j=0}^{n} x_jl_j(X)$

En fait c'est la base dont la base duale est la famille des $n+1$ formes linéaires $u_i$ de Dirac définies par $u_i(P)=P(x_i)$.

Applications

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• L'interpolation lagrangienne peut être utilisée pour calculer la matrice inverse d'une matrice de Vandermonde.
• Elle intervient dans la démonstration du critère de diagonalisabilité par les polynômes annulateurs.
• Elle est utilisée en cryptographie, pour le partage de clés secrètes de Shamir.
• Elle peut servir au calcul numérique d'une intégrale (via les formules de Newton-Cotes), ou plus généralement à l'approximation de fonction.

Idée principale

Résoudre un problème d'interpolation conduit à inverser une matrice pleine de type matrice de Vandermonde. C'est un calcul lourd en nombre d'opérations. Les polynômes de Lagrange définissent une nouvelle base de polynômes qui permet de ne plus avoir une matrice pleine mais une matrice diagonale. Or, inverser une matrice diagonale est une opération instantanée.

Voir aussi

Articles connexes

• Interpolation newtonienne
• Phénomène de Runge

Liens externes

• Interpolation polynômiale (sic) de type Lagrange sur math-linux.com
• Calcul du polynôme de Lagrange en donnant les coordonnées des points sur homeomath.imingo.net