Méthode du point médian

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En analyse numérique, la méthode du point médian est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

 \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x
Mittelpunktsregel.svg

Le principe est d'approcher l'intégrale de la fonction f par l'aire d'un rectangle de base le segment [a, b] et de hauteur f \left(\frac{a + b}{2} \right), ce qui donne :

R=(b-a)f \left(\frac{a + b}{2} \right).

Cette aire est aussi celle du trapèze de base [a, b] et dont le côté opposé est tangent au graphe de f en c = \frac{a + b}{2}, ce qui explique sa relative bonne précision.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment [a,b], l'erreur commise est de la forme

\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x -(b-a)f \left(\frac{a + b}{2} \right) = \frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)

pour un certain \xi \in [a,b]\,. L'erreur est deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes.

Cette méthode est un cas des formules de Newton-Cotes, où le polynôme d'interpolation est de degré 0. Elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 1.